有限样本替换崩溃点

影响函数问：固定一个污染位置，只掺入无穷小比例时，答案怎样移动？崩溃点问：允许修改有限个观测，并把修改值送得任意远，答案能否逃出所有有界区间？这里先固定污染数量，再对污染值取最坏上确界，量词次序与局部导数不同。

高崩溃点只排除无界失控。它不保证小偏差、低方差或有效区间；答案被困在一个很宽但有限的范围内，仍可能没有实际精度。

均值只需一个替换 ​

样本均值 $T_n=\overline{x}$。保持其余观测不变，把第一项改为 $M$，均值的变化为 $(M-x_1)/n$，随 $M\to \mathrm{\infty }$ 无界；零个替换的位移为零。因此 ${\epsilon }_n^{\ast }=1/n$。即使原始样本毫无异常，这个最坏门槛也一样。

一般次序统计量先分清左右方向 ​

令 $T_n(x)=x_{(j)}$ 为第 $j$ 个次序统计量理路顺序统计量Order statistic有限样本按键排序后第 k 个位置的值，保留重复出现的次数。。要使它趋于正无穷，至少要替换 $n-j+1$ 个观测：不足这个数量时，至少仍有 $j$ 个原始有限值，故第 $j$ 项不会超过原始最大值。反过来，把任意 $n-j+1$ 个点改成共同的 $M\to \mathrm{\infty }$，第 $j$ 项确实可被推高。

同理，趋于负无穷至少需要 $j$ 个替换。因此绝对位移的最少失败个数是

证明只用顺序和仍保留多少个有限观测，不要求原始数据互不相同。

奇数与偶数中位数 ​

$n=2k+1$ 时，中位数为 $x_{(k+1)}$。上述公式给

例如五点样本的最少失败比例是 $3/5$，而不是严格的 $1/2$。最多能保证承受的是两次替换，即 $2/5$；两种约定都趋近 $1/2$。

$n=2k$ 时，若中位数定义为中间两项的平均 $(x_{(k)}+x_{(k+1)})/2$，少于 $k$ 个替换时，这两个次序统计量都被原始最小值和最大值夹住。替换 $k$ 个为共同的 $M\to \mathrm{\infty }$，上中位数趋于 $M$，下中位数仍有限，平均也趋于正无穷。故最少失败比例为 $k/(2k)=1/2$。

若偶数中位数只取下中位数 $x_{(k)}$，向负无穷需要 $k$ 个，向正无穷需要 $k+1$ 个；上中位数方向相反。按绝对位移定义二者仍为 $1/2$，但单方向陈述不能混用。

截尾均值的门槛 ​

对整数 $0\le k<n/2$，先丢掉最小和最大的各 $k$ 项，再平均中间 $n-2k$ 项。至多替换 $k$ 个观测时，所有逃出原始范围的污染值都会落在被修剪的两端；留下的每项仍在原始范围内。替换 $k+1$ 项为共同的 $M\to \mathrm{\infty }$，最多只有 $k$ 项在上尾被删，至少一项 $M$ 留在平均中。因此

五点样本修剪两端各一项，最少两次替换就失效，门槛 $2/5$；五点中位数则需三次。截尾保护取决于每端丢弃的项数，中位数的门槛则由中间秩决定。

有界局部影响仍可伴随很低崩溃点 ​

构造一个只用于辨析的固定规则：令经验方差为 $v_n=n^{-1}\sum _i(x_i-\overline{x}{)}^2$，若 $v_n\le 2$ 就返回样本中位数，否则返回样本均值。对应总体泛函在 $P=N(0,1)$ 附近按相同方差阈值切换。污染分布 $(1-\epsilon )N(0,1)+\epsilon {\delta }_x$ 的方差为 $(1-\epsilon )+\epsilon (1-\epsilon )x^2$。对任何固定污染位置 $x$，当 $\epsilon \downarrow 0$ 时该方差趋于1，足够小的污染比例仍使方差低于2，所以在该 $P$ 处的影响函数与中位数相同，因而有界。

但对任意固定的 $n\ge 2$ 有限样本，替换一个观测为 $M\to \mathrm{\infty }$ 时，经验方差最终超过2，规则改为均值并随 $M$ 无界。因此其有限样本替换崩溃点为 $1/n$。$n=1$ 时方差恒为零，但中位数与均值都是唯一观测，替换一次同样崩溃。这个刻意构造的例子说明有界影响函数理路稳健统计与影响函数Robust statistics · Influence function以污染邻域和统计泛函导数量化少量异常分布对估计的局部影响。不逻辑蕴含高替换崩溃点；它不是建议采用的稳健算法。

计算崩溃点需要两半证明：少于门槛时，无论怎么替换都保持有界；达到门槛时，给出一列确实使输出无界的替换。只展示一次成功污染得到上界，不能证明它是最少数量。

本页限于实值位置估计和绝对距离。尺度可能因趋零而崩溃，协方差可能因特征值趋零或趋无穷而崩溃，回归还要声明能否同时改写协变量与响应；不能把本页中位数门槛原样移到这些不同的参数空间。

自测与答案 ​

1. 对六点数据，用上中位数 $x_{(4)}$，向正无穷与向负无穷各需几次替换？答案：分别3次与4次；绝对位移的崩溃点为 $3/6$。
2. 五点中位数只替换两项，能否保证它仍接近原中位数？答案：只能保证仍位于原始最小值与最大值之间，不能保证距离小。如果原始范围很宽，这个有限界也可以很差。