恒定效应随机化反演

只检验“效应为零”给出一个决定，却没有说明哪些效应大小还与实验相容。反演的做法是逐个试候选：假如每个人都增加 $\delta$ ，能否补出一张与抽签结果相容的表？保留下来的候选组成置信集合，其形状由整套检验决定。

形式陈述

每个候选都必须是一份尖锐假设

固定有限单位和已知分配设计，观察 $z^{\rm obs},Y^{\rm obs}$ 。本页模型假设存在共同常数 $\delta_*$ ，使

Y_i(1)-Y_i(0)=\delta_*\quad\text{对每个 }i.

对候选 $\delta$ 检验尖锐假设 $H_\delta$ ，补全

b_i(\delta)=Y_i^{\rm obs}-z_i^{\rm obs}\delta,\qquad Y_i^\delta(0)=b_i(\delta),\qquad Y_i^\delta(1)=b_i(\delta)+\delta.

每个允许分配都按此表重新生成观测，并使用尖锐随机化检验产生 p 值 $p_\delta$ 。在水平 $\alpha$ 采用 $p_\delta\le\alpha$ 拒绝，定义

C_\alpha=\{\delta\in\mathbb R:p_\delta>\alpha\}.

于是 $\Pr_{\delta_*}(\delta_*\in C_\alpha)\ge1-\alpha$ ，概率对真实实验的分配取。接受集合不应先被强制写成一个区间；端点是否保留，也须逐点按严格不等号判断。

直觉

只在真实候选处使用一次错误率保证

当 $\delta=\delta_*$ ，补全得到的基线 $b_i(\delta_*)=Y_i(0)$ 与实际抽签无关，因此 Fisher 校准适用。漏掉真值当且仅当 $p_{\delta_*}\le\alpha$ ，故

\Pr(\delta_*\notin C_\alpha)=\Pr(p_{\delta_*}\le\alpha)\le\alpha.

这正是检验与置信集合对偶。虽然计算时尝试无穷多个候选，覆盖证明没有对它们作并集界：真实效应只有一个，漏掉它只对应一个检验。

若每份分配都含两种处理，记组均值差算子为 $D(y,z)$ 。可采用候选中心化统计量

|D(Y^\delta(z),z)-\delta|=|D(b(\delta),z)|.

实际分配处它等于 $|D(Y^{\rm obs},z^{\rm obs})-\delta|$ 。这说明可以在扣除候选效应后的固定基线表上重分配。不能只把观察均值差减去 $\delta$ ，却继续使用零效应时未更新的参考分布。

例子与边界

四人实验得到一段闭合接受集合

四人中等概率选两人处理，实际处理组为1、2，观察结果为 $(3,4,1,2)$ 。候选效应扣除后的基线表是

(3-\delta,\ 4-\delta,\ 1,\ 2).

六份处理组分别为12、13、14、23、24、34，对应基线均值差为

2-\delta,\quad-1,\quad0,\quad0,\quad1,\quad\delta-2.

所以双侧绝对差检验的 p 值恰为

p_\delta=\frac{2+2\mathbf1\{|2-\delta|\le1\} +2\mathbf1\{|2-\delta|=0\}}6.

取 $\alpha=1/3$ ：当 $\delta<1$ 或 $\delta>3$ 时，p 值为 $1/3$ ，被拒绝；在 $[1,3]$ 内除二以外为 $2/3$ ；在二处为一。接受集合因此为 $[1,3]$ 。两个端点的并列项必须计入，不能由邻近网格值猜测端点开闭。

这是至少 $2/3$ 覆盖的教学程序，不是 $95\%$ 区间。若取 $\alpha=0.05$ ，本例所有候选的 p 值均至少为 $1/3$ ，接受集合就是整个实轴。精确校准可能很宽，不能为了给出有限端点而删掉离散概率。

空心点标出不能沿用邻近水平的断点；实心点是候选恰好等于该值时重新计入并列得到的结果。若只用稀疏网格连线，就会把这项端点信息丢掉。

在真实表上核对覆盖

设真实基线为 $(1,2,1,2)$ 、每人效应为二，刚才的观察确实可能由处理组12产生。在六份分配中，基线差为 $0,-1,0,0,1,0$ 。真候选二的 p 值，在两份极端分配上为 $1/3$ ，其余四份为一。

因此上述 $\alpha=1/3$ 反演程序恰以 $4/6=2/3$ 的概率保留真效应。这里是在固定同一完整表后改变抽签，不是在看见一份数据后给参数分配概率。

异质平均效应不是这里的参数

若各人的效应不同，可能根本不存在满足全部等式的 $\delta_*$ 。这时不能把 $C_\alpha$ 改名为“平均效应的精确置信区间”。即使某个候选等于实际平均效应，候选补全表也通常不是实际潜在结果表，覆盖证明的关键一步已经失效。

不同的单侧/双侧排序、统计量和并列约定也会给不同接受集合。一般反演可有多个连通分支；取最小和最大端点之间的凸包会扩张覆盖，却改变与原检验逐点等价的集合。

推论与应用

用断点求全部候选，而不是任意截断网格

在固定人数的有限设计、均值差统计量下，对每个分配 $z$ 都有

D(b(\delta),z)=a_z+b_z\delta.

尾部成员关系仅在 $|a_z+b_z\delta|=|a_o+b_o\delta|$ 处改变，下标 $o$ 表示实际分配。将平方差分解为两个线性因子，即解

a_z+b_z\delta=\pm(a_o+b_o\delta).

每份分配至多贡献两个有限断点；恒等的因子单独处理，不产生无限断点列表。排序全部断点后，在各开区间取一个代表值计算 p 值，并在每个断点重新比较并列项。最后按 $p>\alpha$ 合并所保留的区间和孤立点，也要检查两端无界区间。

设分配数为 $M$ ，预计算系数的朴素成本为 $O(MN)$ 。至多 $2M$ 个断点需 $O(M\log M)$ 次排序比较；对每段重新扫描全部分配的直观算法需 $O(M^2)$ 次算术，存储 $O(M)$ 。这些是算术操作数；有理精确数的位长成本另计。更快的扫描需维护每个断点的尾部权重变化，不能仅凭“排序后线性”省略这一实现。

读者的交付应包含候选模型、尾部定义、设计权重、所有断点及其开闭。计算网格可用于画图，却不能独立证明某两个网格点之间没有漏掉分支，也不能证明集合有界。

参考资料

Peng Ding, A First Course in Causal Inference 作者公开稿，§3.6.1，其他尖锐假设与恒定效应反演；§8.1 对强零与弱零目标的区分。
Erich L. Lehmann and Joseph P. Romano, Testing Statistical Hypotheses, 3rd ed., Springer, 2005，§3.5，检验反演的一般覆盖机制。本文六分配的 p 值函数、端点和覆盖枚举均由有限表独立推导，断点算法限定为本页的仿射均值差统计量。

形式陈述 ​

每个候选都必须是一份尖锐假设 ​

只在真实候选处使用一次错误率保证 ​

四人实验得到一段闭合接受集合 ​

在真实表上核对覆盖 ​

异质平均效应不是这里的参数 ​

用断点求全部候选，而不是任意截断网格 ​