重随机化设计

拒绝再抽签与条件化是同一个分布 ​

某个接受分配 $z$ 第一次在第 $k$ 轮出现并结束的概率是 $(1-p_A{)}^{k-1}\pi (z)$。对所有 $k\ge 1$ 相加，得到 $\pi (z)/p_A$。这既证明最终分布，也给出抽签次数的期望 $1/p_A$。

补集对称则将每个接受分配与交换两臂后的分配一一配对，且二者权重相同。因此 $\mathbb{E}{Z}_i=\mathbb{E}(1-Z_i)=1/2$。分母固定为 $N/2$，所以

这证明无偏性，不证明各单位处理指标独立，也不保留完全随机化原来的协方差。事实上，改变联合分配结构正是这个设计发挥作用的方式。

四人中剔除两份最不平衡的分配 ​

取协变量 $x=(-2,-1,1,2)$，完全随机选两人处理。接受规则是处理与对照协变量均值差的绝对值不超过一。

最终每个保留分配概率为 $1/4$，接受概率为 $2/3$，平均需抽 $3/2$ 次。每个单位都出现在两个保留处理组中，所以边缘概率为一半；这是可以逐项核对的补集对称。

若某次无效应检验中的固定结果为 $(0,1,2,6)$，实际处理组为1、3，绝对结果均值差为 $5/2$。在四份接受分配里，统计量为 $5/2,3/2,3/2,5/2$，故 p 值为 $1/2$。若错误加入已经不可能发生的1、2与3、4，两项统计量均为 $7/2$，会得到另一数值 $2/3$。正确检验应复现已经执行的抽签。

图中灰色两份已不可能产生，不能继续给它们尾部权重；红色两份各占条件概率四分之一，所以正确 p 值为二分之一。

过紧平衡与不相关的结果变量 ​

把阈值进一步收紧为零，只剩1、4与2、3。两者互为补集，任何固定结果的绝对均值差都相同，双侧检验 p 值恒为一。平衡改善了，却可能让分配支持过小、检验无法细分证据。

协变量更平衡也不保证所有结果变量方差都下降。仍用阈值一的四份支持，令两栏结果都为 $(0,1,0,1)$。接受后均值差为 $-1,0,0,1$，方差 $1/2$；原六份分配另有两个零，方差为 $1/3$。当结果变化不沿着被平衡的协变量方向，条件化可以增加其波动。

仅在处理前决定，还不够保证均值差无偏 ​

考虑仍固定两人处理，却只接受“一号进入处理组”。即使这个规则完全预先确定，若两栏结果均为 $(10,0,0,0)$，每次处理均值都是五、对照均值都是零，差恒为五，而真实效应为零。

这里缺少补集对称，一号甚至没有进入对照组的机会。对不等臂人数或非对称规则，必须重新计算边缘纳入概率和适当估计量；“重随机化”这个名称不会替代证明。尖锐检验仍可按真实支持校准，但无偏平均效应估计是另一项要求。

实现时保存接受规则，而不只保存随机种子 ​

对一维协变量，计算一次均值差需 $O(N)$ 时间；对 $d$ 维协变量逐坐标计算需 $O(Nd)$。朴素拒绝采样的期望计算量约为一次抽签及检查成本的 $1/p_A$ 倍，不提供确定的最大运行时界。若 $p_A=0$，算法永远不会结束，必须在设计阶段检查非空性。

若设置最大尝试次数后改用无约束抽签，最终分布变成另一种混合；若根据已经看到的失败分配逐步放宽阈值，也不再是上述固定事件条件化。两种改动都要明确建模并同步改变推断，不能只保留原来的公式。

统计量可以另外进行协变量调整，但检验模拟仍应遵守已接受的设计。固定 $p_A$ 或接受标准、协变量的测量时间、最终分配记录和生成方法，足以让另一人重建支持。后续若要用 Neyman 完全随机方差理路Neyman 随机化方差Neyman randomization variance · Finite-population treatment-effect variance在固定潜在结果和完全随机分配下推导均值差的精确方差，分离不可观测的效应异质项，并证明常用方差估计只在设计期望上保守。，需先确认它的原分配协方差是否仍适用，而不是只查看两臂人数相等。