Neyman 随机化方差

两组互补产生哪一项协方差 ​

由设计对称性，$\mathbb{E}{Z}_i=n_1/N$。令 $f=n_1/N$，对 $i\ne j$ 有

负协方差来自固定总人数：选中一个单位，会稍微减少另一个被选中的机会。对任何固定数列 $a_i$，用协方差双线性展开理路协方差Covariance两个随机变量中心化乘积的期望，衡量线性共同变化。可得

把估计量写成

后项固定。取 $a_i=Y_i(1)/n_1+Y_i(0)/n_0$，得到

其中 $S_{10}=(N-1{)}^{-1}\sum _i\{Y_i(1)-\overline{Y}(1)\}\{Y_i(0)-\overline{Y}(0)\}$。再用 $S_{\tau }^2=S_1^2+S_0^2-2S_{10}$，便得到形式陈述中的公式。不能把两臂当作独立抽样，直接遗漏最后的异质项。

为什么样本方差能估计各栏，却补不回异质项 ​

每个处理组是 $Y(1)$ 这一固定栏的简单随机样本，对照组同理。用成对差恒等式

以及同臂成对纳入概率 $n_z(n_z-1)/[N(N-1)]$，取期望得到 $\mathbb{E}{s}_z^2=S_z^2$。两项相加即证明保守期望公式。

$S_{\tau }^2$ 需要每个人的两栏结果；一个实验不能同时观察它们。因此在不增加效应结构时，不能照公式把该项直接代入估计。恒定个体效应使 $S_{\tau }^2=0$，此时 $\hat{V}$ 无偏；异质性通常只支持保守性，而非精确恢复方差。

四个单位的全部六次抽签 ​

令 $Y(0)=(1,2,3,4)$、$Y(1)=(2,4,6,8)$，两人处理、两人对照。目标 $\tau =5/2$，总体方差为 $S_0^2=5/3$、$S_1^2=20/3$、$S_{\tau }^2=5/3$，所以真实分配方差为 $15/4$。

六个估计量平均为 $5/2$，对该均值的平方偏差平均为 $15/4$。六个方差估计平均为 $25/6$，超出真实方差 $5/12=S_{\tau }^2/N$。但第一行的 $\hat{V}=5/4$ 明显小于 $15/4$，已经否定逐次保守的解释。

公式适用的设计与目标 ​

若处理人数随机变化、各单位分配机会不等，或只接受某些平衡分配，上述 $Z_i$ 协方差就改变了。不能只将实际人数填进完全随机公式。分层设计应使用块内方差加权理路分层随机实验Blocked randomized experiment · Stratified randomized experiment · Randomized block design先按处理前资料固定区组，再在各块独立随机分配，以单位数权重合并块内效应，推导设计方差并检查不同处理比例与小块的估计边界。；配对设计理路配对随机实验Matched-pairs randomized experiment · Paired randomized design在每对独立抛币分配一人处理，以符号表示两种潜在组间差，推导精确设计方差和跨对保守估计，并保留随机分配与观测配对的边界。每臂每块只有一人，更不能使用未定义的块内样本方差。

即使误差分布看起来接近正态，$\hat{\tau }\pm 1.96\sqrt{\hat{V}}$ 也只是需要另外条件的近似程序。有限总体中心极限定理通常要求没有少数单位主导波动；这里的精确均值、方差恒等式本身没有给出这样的尾部结论。

一次计算和一份完整解释 ​

实际数据只需分别累计各臂人数、结果和及平方偏差，计算 $\hat{\tau },\hat{V}$。使用稳定的在线中心化递推可避免“大平方和减去大均值平方”的相消；时间 $O(N)$、额外空间 $O(1)$。完整潜在结果表只存在于教学例或模拟中，此时才能枚举 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n_1})$ 次分配核对真实方差。

报告应写明目标是当前 $N$ 人的平均效应，随机性来自完全随机分配，以及方差估计的保守含义。若还想推断另一个总体，需要抽样或外推假设；随机抽签没有自动把这批单位变成总体的代表样本。

迁移核对。 将例中每个人的处理结果改为 $Y_i(0)+2$，异质项消失，$S_1^2=S_0^2=5/3$，真实方差变为 $5/3$，而非零。每人效应相同不等于每次组均值差都相同：两组原本的水平仍可能不平衡。