Fisher 尖锐零假设随机化检验

实验结束后，每个人只有一个结果被看见。怎样知道另一种抽签会产生多大的组间差？若假设“处理对每个人都没有影响”，已经看见的结果就能补上另一栏。随后重做的是原实验的抽签，而不是任意打乱数据。

形式陈述

尖锐假设补全什么

固定 $N$ 个单位的潜在结果 $Y_i(0),Y_i(1)$ ，假定无单位间干扰、处理版本明确。分配向量 $Z\in\Omega\subseteq\{0,1\}^N$ 按已知概率 $\pi(z)>0$ 产生， $\sum_{z\in\Omega}\pi(z)=1$ 。这与有限总体设计一样，把表中数值固定，概率只对选中哪些单位取。

实际观察到 $z^{\rm obs}$ 和 $Y_i^{\rm obs}=Y_i(z_i^{\rm obs})$ 。尖锐零假设

H_F:Y_i(1)=Y_i(0)\quad\text{对每个 }i

使两栏都等于 $Y_i^{\rm obs}$ 。因此对每个允许分配 $z$ ，都能计算预定统计量 $T(z,Y^{\rm obs})$ 。规定大值更反对零假设，定义

p_F=\sum_{z\in\Omega}\pi(z)\, \mathbf1\{T(z,Y^{\rm obs})\ge T(z^{\rm obs},Y^{\rm obs})\}.

在 $H_F$ 下这是有效p 值：对任意 $u\in[0,1]$ ， $\Pr_\pi(p_F\le u)\le u$ 。双侧检验可以事先取绝对组均值差；“双侧”必须落实为一个完整的极端性排序。

更一般的尖锐假设可逐人规定已知效应 $\delta_i$ 。这时先补全 $Y_i(0)=Y_i^{\rm obs}-z_i^{\rm obs}\delta_i$ 、 $Y_i(1)=Y_i(0)+\delta_i$ ，每次候选分配都重新生成其观测结果。仅规定平均效应为零，不足以完成这个步骤。

直觉

尾部概率按真实抽签重量累加

在零假设下，补全后的结果表不随实际抽签变化。将统计量的不同取值从大到小排为 $t_1>\cdots>t_K$ ，把对应的设计概率合并为 $w_1,\ldots,w_K$ 。若实现值为 $t_j$ ，其 p 值就是累计重量

q_j=w_1+\cdots+w_j.

事件 $p_F\le u$ 恰好收集某个最前面的取值段，概率为该段末端的 $q_j\le u$ ；若没有这样的段，概率为零。这证明了有限样本有效性，也说明并列值为何要一起纳入尾部。没有要求结果正态、方差齐性或单位来自 IID 抽样。

“精确”指校准使用真实有限分布，不表示错误率恰等于每一个名义水平。有限个分配只有有限个累计概率，许多水平根本无法用完。未经额外随机化就把并列质量只算一半，会改变这里的保证。

例子与边界

不等概率抽签不能按分配数除

三名单位恰有一人接受处理，选中一、二、三号的概率分别为 $1/2,1/3,1/6$ 。在无效应假设下，固定结果为 $(3,1,0)$ ，统计量取处理者的结果。三个可能的报告为：

处理者	统计量	正确加权 p 值
一号	3	$1/2$
二号	1	$5/6$
三号	0	$1$

若实际抽中一号，尾部只包含这个分配，但它的重量是一半，不是三分之一。错误地把三个分配等权处理，会在水平 $1/3$ 时以概率 $1/2$ 拒绝真实零假设。程序列举得再完整，也无法修复用错的概率。

平均为零仍可能拒绝得太多

取四人、等概率选两人处理，令 $Y(0)=(0,0,0,0)$ 、 $Y(1)=(-1,-1,-1,3)$ 。个体效应平均恰为零，但并不逐人等于零。

若处理组不含四号，三种分配都观察到处理结果 $(-1,-1)$ 、对照结果 $(0,0)$ 。错误套用无效应补全后，六个绝对均值差中只有两个达到观察值一，所以 p 值为 $1/3$ 。若处理组含四号，另外三种分配的观察结果为 $(-1,3,0,0)$ 的相应排列，六个绝对均值差均至少为一，p 值为一。

因此把这套检验误称为“平均效应为零”的水平 $1/3$ 检验，会以概率 $3/6=1/2$ 拒绝一个真实的平均零假设。Fisher 校准没有失效，错误在于把尖锐假设替换成了较弱的目标。Neyman 随机化方差直接研究异质效应下的平均效应估计，但不会自动得到同一个精确检验。

允许重新计算，不能事后挑规则

统计量可以包含拟合过程，只要每个候选分配都按预定的同一算法重新拟合。反过来，先看结果挑出最显著的统计量，再只对选中的统计量算尾部，不是已经证明的程序。观测研究的标签也不能因为容易洗牌就获得真实抽签解释；置换检验还可能依靠另一种分布不变性，需要单独建立。

推论与应用

从设计记录到复算结果

保存分配支持集、每个分配的概率、假设补全规则和统计量方向。完全随机分配 $n_1$ 人时共有 $M=\binom N{n_1}$ 个分配，直接枚举的时间为 $O(MC_T)$ ， $C_T$ 是一次重造数据及计算统计量的成本；顺序累计尾重无需保存全部统计量。组均值差朴素计算可取 $C_T=O(N)$ 。

规模大时可从真实设计独立模拟分配，使用已有置换页说明的加一蒙特卡洛校准；不能把模拟比例的近似精度和完整枚举混为一谈。分层、配对及重随机化会改变支持集，分析必须沿用改变后的抽签。

若想估计一个恒定效应而非只检验零，可对候选效应逐个补全并用随机化检验反演保留未拒绝的候选。可复算终点是给出一张“分配、概率、统计量、是否进入尾部”的完整表；只报一个 p 值会丢失设计本身。

参考资料

Peng Ding, A First Course in Causal Inference 作者公开稿，2023 年 v2，对应 2024 年出版教材；§§3.1–3.2、3.6.1，尖锐假设、随机分配与反演接口。本文加权尾部证明和两张有限总体反例直接展开计算。
Kari Lock Morgan and Donald B. Rubin, Rerandomization to improve covariate balance in experiments, Annals of Statistics 40(2), 1263–1282, 2012，§2.2，重新分配必须保留实际设计的接受规则。

形式陈述 ​

尖锐假设补全什么 ​

尾部概率按真实抽签重量累加 ​

不等概率抽签不能按分配数除 ​

平均为零仍可能拒绝得太多 ​

允许重新计算，不能事后挑规则 ​

从设计记录到复算结果 ​