配对随机实验 | Codeboy's Blog

把两名起点相近的单位配成一对，然后抛一枚公平币决定谁接受处理。两人相似有助于减少起点差，但使推断成立的是实际抛币。即使一对内差异很大，这个分配机制仍能给出无偏估计与精确的尖锐零假设检验。

形式陈述

每对有两个可能的处理差

固定 $B\ge1$ 对、共 $2B$ 个单位的潜在结果，每对记为 $j1,j2$ 。各对独立使用公平币，一人处理、一人对照。这是分层随机实验中每块恰有两人、两臂各一人的特例，全部 $2^B$ 个分配等概率。

定义第 $j$ 对的两种可能组间差

D_j^+=Y_{j1}(1)-Y_{j2}(0),\qquad D_j^-=Y_{j2}(1)-Y_{j1}(0).

再令

\mu_j=\frac{D_j^++D_j^-}{2},\qquad \Delta_j=\frac{D_j^+-D_j^-}{2}.

$\mu_j$ 正是该对两人的平均个体效应。若公平符号 $S_j=1$ 表示第一人接受处理， $S_j=-1$ 表示第二人接受处理，实际处理减对照之差为

D_j=\mu_j+S_j\Delta_j,\qquad \widehat\tau=\frac1B\sum_jD_j,\qquad \tau=\frac1B\sum_j\mu_j.

因此

\mathbb E_Z\widehat\tau=\tau,\qquad \operatorname{Var}_Z(\widehat\tau)=\frac1{B^2}\sum_j\Delta_j^2.

当 $B\ge2$ ，由观测到的 $D_j$ 计算

\widehat V_{\rm pair}=\frac1{B(B-1)}\sum_j(D_j-\widehat\tau)^2.

它满足

\mathbb E_Z\widehat V_{\rm pair} =\operatorname{Var}_Z(\widehat\tau) +\frac1{B(B-1)}\sum_j(\mu_j-\tau)^2.

所以跨对平均效应相同时无偏，一般在设计期望上保守。这里不假设不同对来自相同分布，也不要求每对两人相同。

直觉

对内随机性与对间异质性分别在哪里

公平符号有均值零、方差一，各对符号独立，所以 $\mathbb ED_j=\mu_j$ 、 $\operatorname{Var}(D_j)=\Delta_j^2$ 。求和后协方差消失，精确方差随之得到。

注意 $\Delta_j$ 涉及两人两栏结果之和的差，而不只是个体效应之差。即使每个人效应都为一，一对内的基线水平差也会让实际组间差随着抛币改变。良好的匹配尽量减少这种对内差异，却不把潜在结果补成可见数据。

跨对估计式为何保守？使用恒等式

\sum_j(D_j-\widehat\tau)^2=\sum_jD_j^2-B\widehat\tau^2.

取期望，把 $\mathbb ED_j^2=\Delta_j^2+\mu_j^2$ 和 $\mathbb E\widehat\tau^2=B^{-2}\sum_j\Delta_j^2+\tau^2$ 代入，分子变成

\frac{B-1}{B}\sum_j\Delta_j^2+\sum_j(\mu_j-\tau)^2.

除以 $B(B-1)$ ，得到前面的公式。第二项表明跨对效应差异也进入了样本波动，因而平均上多估了一部分。这个证明没有把独立但不同分布的 $D_j$ 偷换成 IID 数据。

例子与边界

三对潜在结果逐项计算

对	第一人 $(Y(0),Y(1))$	第二人 $(Y(0),Y(1))$	$(D^+,D^-)$	$(\mu,\Delta)$
1	$(0,1)$	$(2,3)$	$(-1,3)$	$(1,-2)$
2	$(10,12)$	$(11,13)$	$(1,3)$	$(2,-1)$
3	$(20,20)$	$(20,22)$	$(0,2)$	$(1,-1)$

目标效应为 $4/3$ ，精确分配方差为 $(4+1+1)/9=2/3$ 。八次分配下的估计值为

0,\quad2/3,\quad2/3,\quad4/3,\quad4/3,\quad2,\quad2,\quad8/3,

顺序按各对符号枚举即可。它们平均为 $4/3$ ，平方偏差平均为 $2/3$ 。对间均值的平方偏差和为 $2/3$ ，所以 $\mathbb E\widehat V_{\rm pair}=2/3+1/9=7/9$ 。

如果三对都由第一人处理，观测差是 $(-1,1,0)$ ， $\widehat\tau=0$ 、 $\widehat V_{\rm pair}=1/3$ 。它小于真实方差 $2/3$ ，再次说明保守性不能解释为逐次上界。

一对无法估计“本对内两臂样本方差”

每臂只有一个观测时，分母 $n_z-1$ 为零。把这种未定义量置零会错误宣称没有不确定性。若 $B=1$ ，跨对样本方差同样不存在；仍能按两种抽签做尖锐零假设检验，但普通双侧绝对差在这两个互为反号的结果上会给 p 值一。

增加配对数与增加一对内单位数是不同的设计选择。本文也不处理一组配一个处理者、多个对照者的变大小匹配组，那时权重与方差都需要重新推导。

推论与应用

尖锐零假设下只翻转对内符号

在逐人无效应假设下，每个单位的结果固定，交换一对内处理标签便把该对观察差 $d_j$ 变成 $-d_j$ 。调用Fisher 尖锐随机化检验，对统计量 $|B^{-1}\sum_jd_j|$ 的精确 p 值为

2^{-B}\sum_{s\in\{-1,1\}^B} \mathbf1\left\{\left|\sum_js_jd_j\right|\ge\left|\sum_jd_j\right|\right\}.

若实际差为 $(3,3,2)$ ，最大绝对和八只有全正和全负两种符号达到，所以 p 值为 $2/8=1/4$ 。零差也保留其两个抽签标签；它们给同一统计量，但各自仍有概率。

直接计算均值和方差估计需 $O(B)$ 时间。完整符号枚举朴素需 $O(B2^B)$ ；用相邻仅翻转一位的枚举顺序维护当前和，可在每次常数更新下做到 $O(2^B)$ 次算术，但不会消除指数级分配数。浮点数的并列比较应有明确数值规范，整数或有理数据可直接精确比较。

观测配对不提供随机币

若两名单位仅因协变量相似而事后配对，处理标签没有真的抛币，则上述符号分布不自动成立。前后测量也不是“同一个人先后随机接受两种时刻”。二元配对数据的McNemar 条件检验可在 IID 对的抽样模型下得到另一个二项分布，但其零假设和概率来源必须另说。

Rosenbaum配对敏感性分析允许未知的独立对内分配概率落在 $[1/(1+\Gamma),\Gamma/(1+\Gamma)]$ 中，以非负固定权重和的最坏尾代替公平符号尾。 $\Gamma=1$ 才恢复本页的公平分配；一般值限制的是隐藏分配偏差，不能估计或验证真实偏差。对间独立与尖锐假设仍须逐项保留。

同样，配对 t 检验的精确 t 分布需要正态抽样等额外模型；本页设计期望保守的方差估计不会自动产生有限样本 t 覆盖。报告时应同时写出配对名册、抛币方式和实际处理方向。

参考资料

Peng Ding, A First Course in Causal Inference 作者公开稿，§§7.1–7.3，尤其 Theorem 7.1 的保守偏差式。本文采用 $D_j=\mu_j+S_j\Delta_j$ 展开，并独立枚举三对教学表。
Kosuke Imai, Variance identification and efficiency analysis in randomized experiments under the matched-pair design, Statistics in Medicine 27(24), 4857–4873, 2008，§3、Proposition 1 及 Appendix A.1，固定潜在结果下的配对方差识别与估计。

形式陈述 ​

每对有两个可能的处理差 ​

对内随机性与对间异质性分别在哪里 ​

三对潜在结果逐项计算 ​

一对无法估计“本对内两臂样本方差” ​

尖锐零假设下只翻转对内符号 ​

观测配对不提供随机币 ​

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