Rosenbaum 配对敏感性分析

同一组均匀数把所有分配放到一起 ​

设$U_i$是独立$\mathrm{Uniform}(0,1)$。在同一概率空间上构造

逐项有$V_i^{-}\le B_i\le V_i^{+}$。非负权重使两个和也保持这个次序，故对每个阈值$t$都有式(3)的尾界。这是共同概率空间的耦合理路耦合法Coupling method · Probability coupling在共同概率空间中构造具有指定边缘的随机变量，并用它们相遇的概率比较分布。：不是只比较均值，而是让每一份实现都被上下夹住。

端点可以达到。令每对较高固定结果者都以概率$h$接受处理，并使各对独立，便得到上端分配；全用$l$得到下端。模型没有另外限制隐藏协变量与潜在结果的关系，因此不能排除这种最不利排列。若另加限制，界可能收窄，但那已是更小的模型。

为什么最坏尾仍是有效p值 ​

对某一真实允许概率向量$\rho$，其真实尾函数记为$p_{\rho }(t)$。旧Fisher页的离散尾部论证给出

又因对每个$t$都有$p_{\mathrm{\Gamma }}^{+}(t)\ge p_{\rho }(t)$，事件$\{p_{\mathrm{\Gamma }}^{+}(T)\le \alpha \}$包含于$\{p_{\rho }(T)\le \alpha \}$，有效性随之成立。并列仍全部计入“$\ge$”，没有把一半并列质量删掉。

下端$p_{\mathrm{\Gamma }}^{-}$表示“最乐观的允许尾”，通常不能用于保证对全部模型有效的拒绝规则。报告一段尾概率范围时，应清楚指出稳健拒绝使用的是哪一端。

Gamma限制的是分配，不是效应大小 ​

一种产生式(1)的模型是：匹配前两人的处理指示独立，处理odds为$\exp ({\lambda }_i+\gamma u_{ij})$，其中$0\le u_{ij}\le 1$、$\gamma =\log \mathrm{\Gamma }$。条件于每对恰好一人处理后，第一人相对第二人的概率比为

共同的${\lambda }_i$消去。因此$\mathrm{\Gamma }=2$在这里允许一人的处理机会是另一人的两倍，条件概率最多为$2/3$；它不表示处理效应放大两倍，也不是“存在混杂的概率”。实际匹配程序是否支持条件独立模型仍需论证，匹配动作本身不会自动生成式(1)。

六个正差能承受多大的偏差 ​

六对非零差全部为正，使用符号计数，观察$T=6$。达到至少六只能是六次全成功，所以

在$\mathrm{\Gamma }=1,3/2,2$时，它依次为

前两者不超过0.05，第三者超过。临界偏差可以精确写为

按“p不超过0.05就拒绝”的约定，$\mathrm{\Gamma }={\mathrm{\Gamma }}_{\ast }$处仍拒绝。这个数描述当前统计量、当前资料与指定模型的稳健程度，不估计真实偏差，也不说明所有同样大小的研究都如此。

不等权重与并列仍可精确计算 ​

取固定权重$(1,2,2,3)$，观察前三个中的第一项为负，其余为正，所以$T=7$、总权重八。尾事件$T\ge 7$必须包含权重二、二、三，权重一可取可不取。因此

在$\mathrm{\Gamma }=2$，范围为$[1/27,8/27]$。重复权重二是两对不同单位，不能合并成一次硬币；只有卷积后相同总和的概率才能相加。

如果先看哪些差为正，再给正差大权重，就破坏了“交换标签后权重不变”。此时把观察权重固定再翻转符号，计算的是一个没有证明的检验。

对间独立和单侧单调性都不能省略 ​

让六个符号完全相同，且以一半概率全正、一半概率全负。每个符号边缘上都是公平币，符合单个概率的$\mathrm{\Gamma }=1$限制，但全正概率为$1/2$，而非$1/64$。对间独立是联合概率模型的一部分，不由每个边缘界推出。

同样，非负权重保证尾事件逐坐标单调；若直接允许负权重，不能统一把所有成功概率调到$h$。可以先翻转负权重对应的符号并加入常数，将统计量化为非负权重形式，但必须明确这个变换。

双侧有效不等于双侧最锐 ​

对预先规定的两种相反单侧排序分别计算有效上界$p_{\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}\mathrm{t}}^{+},p_{\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{t}}^{+}$。由并集界理路并集界Union bound · Boole 不等式多个坏事件中至少一个发生的概率，不超过各事件概率之和。，

是有效双侧p值。两端的最不利分配可能不同，所以不要将它称为某一个共同分配下的精确双侧尾。

例如$q=(1,2)$、观察$T=3$，预先按$|T-3/2|$排序，尾事件为$T\in \{0,3\}$。在$\mathrm{\Gamma }=2$下，其最大概率为

目标分别对每个概率为仿射函数，最大值可在四个矩形顶点找；同向顶点给$5/9$，反向顶点给$4/9$。式(6)在同一观察上给$8/9$，仍有效，但更保守。单侧耦合的答案不能未经推导就搬到非单调的双侧事件。

用卷积得到完整分布 ​

非负整数权重时，令$f_j(s)$为前$j$个权重和等于$s$的概率，$f_0(0)=1$，其他位置为零。给定成功率$h$，有

越界下标视为零。此动态规划理路动态规划Dynamic programming在有限或良基的状态依赖上复用已计算结果的算法设计范式。每次读取上一行，保留两个数组即可。设$Q=\sum q_i$，则需$O(I(Q+1))$次算术、$O(Q+1)$概率槽；这是关于权重数值的伪多项式界，不是关于二进制输入长度的多项式界。平均秩为半整数时，可把全部权重和阈值乘二。一般实权重可用完整$2^I$符号枚举，不能擅自四舍五入并列。

对有理$\mathrm{\Gamma }$使用分数算术可得到精确尾值；分子分母增长的位成本另算。零权重可以直接跳过，因为两条分支落回同一个和，概率相加仍为一。全零时上尾p值为一。

对恒定效应候选重新建立权重 ​

若另假定每个人的效应是同一个常数${\delta }_{\ast }$，对候选$\delta$先计算调整差$d_i-\delta$。在该尖锐假设下，调整后的两人基线差只会随标签交换而变号，绝对值及其秩才是固定的。每个候选都要重新确定零差、并列与权重，随后用同一个$\mathrm{\Gamma }$模型计算有效p值。

按检验反演理路置信集合与检验的对偶Confidence set and test duality · Test inversion逐参数反演 level 检验得到覆盖置信集合，并由置信集合反构造点零假设检验。保留$p_{\delta }>\alpha$的候选，即得覆盖至少$1-\alpha$的接受集合，前提是恒定效应模型和真实分配的$\mathrm{\Gamma }$限制都成立。只在真实候选处使用一次错误率，所以无须因为检查许多候选而额外Bonferroni。若效应异质，不能把这个集合改名为总体平均效应区间。

对于符号计数，候选经过某个$d_i$时会产生或移除零项，需在断点单独核算。秩权重还会在$|d_i-\delta |=|d_j-\delta |$处改变。任意有限网格可以演示，却不能独立证明完整接受集合或端点开闭。