分层随机实验

加权先由目标决定，再由设计计算波动 ​

每块的处理与对照都是同一块的互补样本，所以块内均值差无偏估计本块效应。期望线性性给出整体无偏性；块间独立使不同块估计量的协方差为零，再把每块方差乘上权重的平方即可。

$W_h=N_h/N$ 不是精度调参。它表达每个单位在总体目标中占相同份量。若大块四人、小块两人，效应分别为三和零，单位平均效应是二；对两块简单平均会得到 $1.5$，那是另一个“块平均”目标。即使后者方差较小，也不能把估计目标悄悄替换。

这与分层调查抽样理路分层抽样与 Neyman 分配Stratified sampling · Neyman allocation在独立层内抽样的精确方差上优化人数或费用分配，说明 Neyman 公式与实际整数约束。不同：调查从每层抽一份样本测同一个固定变量，本设计在每块把单位分到两个互补组，分别揭示两栏潜在结果。因此块内方差带有不可观测的效应异质项，不能直接套一栏抽样的分配公式。

两块八人的完整潜在结果 ​

下表只是用于复算的完整教学表；实际实验不会同时看到同一个人的两栏。

每块选两人处理，$W_A=W_B=1/2$。两块平均效应均为一；A 块有 $S_{1A}^2=3,S_{0A}^2=5/3,S_{\tau A}^2=2/3$，方差为 $13/6$。B 块相应为 $5/3,5/3,2/3$，方差为 $3/2$。所以

总共有 ${(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2})}^2=36$ 份等概率分配，逐份计算的平均估计为一，方差正是 $11/12$。若同八人改为完全随机选四人处理，共有七十份分配，方差为 $211/14$。在这个例子里，两个块的起点相差十，阻止块间人数失衡确实大幅减少了波动。

分层不是对所有固定表都降低方差 ​

另取四人的两栏都为 $(0,1,0,1)$，按前两人和后两人分块，每块各一人处理。块内差分别独立取 $\pm 1$，两块平均的方差为 $1/2$。完全随机选两人处理时，有限总体方差 $S^2=1/3$，均值差的方差为 $S^2/2+S^2/2=1/3$。

这份分块反而增大方差。结论取决于固定表、块的形成方式和比较的抽样框架，不能从“增加平衡约束”推出所有结果变量都更精确。

不同处理比例时，合并两臂均值会错位 ​

两块各四人，第一块的两栏结果都为零，第二块都为十，因此真实效应全为零。若第一块处理三人、第二块处理一人，合并处理均值为 $2.5$，合并对照均值为 $7.5$，差恒为 $-5$。块内差则都为零，${\hat{\tau }}_B=0$。

原因是两臂在两个块的组成权重不同。只有所有块处理比例相同等适当条件下，合并两臂均值差才等于按 $N_h/N$ 加权的块内差。区组标签不能在最后一步被丢掉。

检验同样只能在块内重抽签 ​

针对逐人无效应的尖锐零假设，调用Fisher 随机化检验理路Fisher 尖锐零假设随机化检验Fisher randomization test · Sharp null randomization test把潜在结果固定、处理分配作为唯一随机源，在尖锐零假设下补全反事实，按已知分配概率计算加权尾部，并辨明平均效应零假设的边界。：固定补全后的结果，在每块保留原处理人数，独立重抽，再计算预定的加权统计量。允许分配数为

八人例可完整枚举三十六次；把全部八人任意洗成四对四会使用七十份不同的分布，不再复现原实验。事后分层则是另一个分析程序，其分层人数可能随机变化，不能冒充事前分层设计。

实际点估计及可用的方差估计可在 $O(N)$ 时间、$O(H)$ 存储内按块累计。完整随机化检验的朴素时间为 $O(MN)$；模拟时也必须分别在块内抽样。

当每块恰为一对、每对一人处理时，进入配对随机实验理路配对随机实验Matched-pairs randomized experiment · Paired randomized design在每对独立抛币分配一人处理，以符号表示两种潜在组间差，推导精确设计方差和跨对保守估计，并保留随机分配与观测配对的边界。。它仍有精确设计方差，却要另用跨对差异构造保守方差估计。识别这个边界，比给未定义的块内样本方差补一个零更重要。