Fisher 精确检验 | Codeboy's Blog

两组分别有十次和十四次独立试验，成功次数是一和十一。若两组成功率其实相同，这张表有多不寻常？Fisher 精确检验先固定已观察到的总成功数，再研究这些成功怎样在两组间分配；共同但未知的成功率会从条件分布中消失。

形式陈述

独立二项模型和条件支持

设 $X\sim\operatorname{Bin}(n_1,p_1)$ 、 $Y\sim\operatorname{Bin}(n_0,p_0)$ 相互独立， $n_1,n_0\ge1$ 固定。两者均采用二项分布模型，检验 $H_0:p_1=p_0$ 。令 $N=n_1+n_0$ 、 $K=X+Y$ ，表为

组别	成功	失败	总数
第一组	$x$	$n_1-x$	$n_1$
第二组	$K-x$	$n_0-K+x$	$n_0$

条件于 $K$ 后， $X$ 的零假设质量为

h_K(x)=\frac{\binom{n_1}{x}\binom{n_0}{K-x}}{\binom NK} =\frac{\binom Kx\binom{N-K}{n_1-x}}{\binom N{n_1}},

支持是整数区间 $L=\max(0,K-n_0)\le x\le U=\min(n_1,K)$ 。这叫超几何分布：从总共 $N$ 个位置、其中 $K$ 个成功的位置中，查看落入第一组的成功数。

若备择为 $p_1<p_0$ ，取左尾 $p_-=\sum_{t=L}^x h_K(t)$ ；反方向取右尾。本文的双侧约定是概率质量排序：

p_{\rm prob}=\sum_{t=L}^U h_K(t)\mathbf1\{h_K(t)\le h_K(x)\}.

它把概率不大于观察表的所有表计入，包括并列概率。各自都是条件有效p 值，从而在共同成功率的每个取值下也无条件有效。

直觉

共同成功率在条件比值里约掉

在 $p_1=p_0=p\in(0,1)$ 下，联合概率为

\Pr(X=x,Y=K-x)=\binom{n_1}x\binom{n_0}{K-x}p^K(1-p)^{N-K}.

总成功数服从 $\operatorname{Bin}(N,p)$ 。用条件概率除以 $\Pr(K)$ ，共同因子 $p^K(1-p)^{N-K}$ 完全约掉，剩下 $h_K(x)$ 。端点 $p=0,1$ 时只可能出现全失败或全成功，条件支持仅一个点，取 p 值一。

固定任意可发生的 $K$ ，单侧按 $x$ 排序；概率双侧按 $-h_K(x)$ 排序。把同分值的质量合并后，尾部累计量不超过 $u$ 的取值总质量也不超过 $u$ ，所以 $\Pr(p\le u\mid K)\le u$ 。再对 $K$ 加权平均便得无条件上界。条件化没有要求 $K$ 在实验前被固定，只要求使用正确模型下的条件分布。

这与尖锐随机化检验可能产生相同的超几何公式，却有不同起点：这里由独立二项抽样模型消去未知共同概率；二元固定结果的随机实验则可以从实际标签抽签直接计数。公式相同不能抹去各自的假设。

例子与边界

十次与十四次试验的完整尾部

表为 $(1,9;11,3)$ ，所以 $n_1=10,n_0=14,K=12,N=24$ ， $X$ 可取零到十。用第二种质量写法，公共分母是 $\binom{24}{10}=1961256$ 。

左尾只含 $x=0,1$ ，两个分子分别是 $\binom{12}0\binom{12}{10}=66$ 和 $\binom{12}1\binom{12}9=2640$ ，故

p_-=\frac{2706}{1961256}=\frac{41}{29716}\approx0.001380.

本例质量关于五对称，所有质量不超过 $h_K(1)$ 的点为 $0,1,9,10$ ，因此

p_{\rm prob}=\frac{41}{14858}\approx0.002759.

条件尾部的稀少不等于“共同成功率假设为真的概率”。它只描述该假设下的校准，并未给参数设置先验分布。

双侧不是唯一约定

取表 $(0,3;3,2)$ ，有 $N=8,n_1=3,K=3$ ，四个质量为 $(10,30,15,1)/56$ 。观察值为零，左尾是 $10/56$ ；将较小单侧尾乘二并截到一，得到 $20/56$ 。概率排序双侧则只收入零和三，得到 $11/56$ 。

两种预定定义都能合法校准，但回答的极端性排序不同。不能看完哪一个更小后再称它为事先固定的双侧检验，也不能据软件数字不一致就认定有一个算错。

若目标是估计两组优势比而非只检验共同成功率，可使用优势比的精确条件推断：保留相同边缘，组合质量再乘未知优势比的幂，得到完整条件族。条件MLE通常不同于样本交叉比；等尾区间反演两份单尾检验，不宣称恰好反演本页的概率排序两侧规则。

小格数与样本模型是两回事

精确公式不依赖大期望格数，却仍依赖独立组内试验和同组共同成功率等模型条件。聚类、重复测量或随数据决定何时停止，都可能改变抽样分布。若同一单位给出两个二元结果，应先明确是检验两结果关联，还是比较边际比例；后者应考虑McNemar 配对检验。

离散检验通常保守。把观察质量的一半扣掉得到 mid-p，可能降低保守性，但不是本页的超均匀 p 值保证。例如 $n_1=n_0=1,K=1$ 的两个条件结果各有概率一半，左尾 mid-p 在 $x=0$ 时为 $1/4$ ，这个事件概率却为 $1/2$ ，违反条件水平 $1/4$ 。

推论与应用

用质量比递推，避免反复计算大阶乘

在支持内部，相邻质量满足

\frac{h_K(x+1)}{h_K(x)} =\frac{(K-x)(n_1-x)}{(x+1)(N-K-n_1+x+1)}.

先选一个众数位置，例如将 $\lfloor(n_1+1)(K+1)/(N+2)\rfloor$ 限制在 $[L,U]$ ，令其未归一化重量为一，向两侧用质量比递推，再除以全部重量和。两侧分布均从较大重量走向较小重量，避免从极小尾概率一路放大。

支持宽度 $W=U-L+1$ 不超过 $\min(n_1,n_0,K,N-K)+1$ ，直接保存所有重量需 $O(W)$ 次算术和 $O(W)$ 空间。对小表，整数二项式系数与有理数可给精确答案；大表需稳定的对数或高精度算法。极端尾部被浮点下溢丢掉时，“精确检验”的统计含义并不能保证数值结果也精确。概率排序的并列比较同样不能任意设置会改变尾部的容差。

交付一份可检查结果时，写下四格计数、行总数、总成功数、支持范围、单侧方向或双侧规则，以及进入尾部的那些表。这样既能复算，也能辨明所检验的概率模型。

参考资料

Alan Agresti, A Survey of Exact Inference for Contingency Tables, Statistical Science 7(1), 131–153, 1992，§§1.3、2.1，条件消去干扰参数、超几何分布与不同双侧定义；此链接为教材课程保存的原文。本文递推、两张数值表和 mid-p 条件反例逐项直接计算。
R. A. Fisher, On the Interpretation of χ² from Contingency Tables, and the Calculation of P, Journal of the Royal Statistical Society 85(1), 87–94, 1922，列联表精确条件计算的早期原始论述；书目信息需与后来的具体软件双侧约定区别。

形式陈述 ​

独立二项模型和条件支持 ​

共同成功率在条件比值里约掉 ​

十次与十四次试验的完整尾部 ​

双侧不是唯一约定 ​

小格数与样本模型是两回事 ​

用质量比递推，避免反复计算大阶乘 ​

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