优势比的精确条件推断

一个二乘二表不仅能检验两组是否相同，也能估计两组成功优势之比。样本交叉乘积比、条件似然的极大点和置信区间的端点来自不同计算。把整个条件分布写出来，才能解释它们为何可以明显不同，以及稀疏表为什么需要保留零或无穷边界。

形式陈述

两个二项组与目标参数

设n_1,n_0≥1固定，两组成功数相互独立，满足二项模型

X\sim\operatorname{Binomial}(n_1,p_1),\qquad Y\sim\operatorname{Binomial}(n_0,p_0),\qquad 0<p_1,p_0<1.

定义优势比与总成功数

\theta=\frac{p_1/(1-p_1)}{p_0/(1-p_0)}>0,\qquad K=X+Y.

优势是成功概率除以失败概率；优势比不是概率之比p_1/p_0。观测到K=k以后，以A=X表示第一组的成功数，其支持为全部整数

L=\max(0,k-n_0)\le a\le U=\min(n_1,k).

按条件概率归一化联合二项质量，得到

P_\theta(A=a\mid K=k) =\frac{w_a\theta^a}{Z_k(\theta)},\qquad w_a=\binom{n_1}{a}\binom{n_0}{k-a},\qquad Z_k(\theta)=\sum_{b=L}^Uw_b\theta^b.\tag{1}

推导时，共同因子为 $(1-p_1)^{n_1}(1-p_0)^{n_0}[p_0/(1-p_0)]^k$ ；约去后只剩θ^a。式(1)称为Fisher非中心超几何族。在θ=1时，它退化为Fisher精确检验使用的中央超几何零分布。

这里的非中心族来自独立二项组的条件化。它不等于任意“不同权重逐次无放回抽取”的结果；后一抽样过程必须另行给出概率规则。

条件MLE：内部根和边界上确界

令η=logθ，条件对数似然忽略常数后为 $a\eta-\log Z_k(e^\eta)$ 。利用得分与信息，有限求和直接给

\frac{d\ell_c}{d\eta}=a-E_\theta A,\qquad -\frac{d^2\ell_c}{d\eta^2}=\operatorname{Var}_\theta(A).\tag{2}

若L<U，每个支持点在有限θ下概率都严格正，故方差严格正。均值随η严格增加，并在θ↓0和θ↑∞时分别趋L与U。因此：

L<a<U时，有唯一有限条件MLE，由 $E_{\widehat\theta_c}A=a$ 确定。
a=L时，似然在θ↓0时逼近上确界；a=U时，在θ↑∞时逼近上确界。0与∞是扩展边界，均不是参数空间(0,∞)内的有限MLE。
L=U时，条件分布恒为一个点，似然与θ无关，所有θ>0都同样合适，没有识别信息。

这些结论不需要大样本正态近似，也不由样本交叉乘积比直接替代。

等尾置信集合及其覆盖

固定0<α<1，对观测a定义两条包含观测点的尾概率

R_\theta(a)=P_\theta(A\ge a\mid K=k),\qquad F_\theta(a)=P_\theta(A\le a\mid K=k).

保留未被两份α/2尾检验排除的参数，得到置信集合

C_\alpha(a;k)=\{\theta>0:R_\theta(a)\ge\alpha/2,\ F_\theta(a)\ge\alpha/2\}.\tag{3}

它是一个区间。对于L<a≤U，下端θ_−是方程 $R_{\theta_-}(a)=\alpha/2$ 的唯一正根；a=L时记扩展下端θ_−=0。对于L≤a<U，上端θ_+是 $F_{\theta_+}(a)=\alpha/2$ 的唯一正根；a=U时记θ_+=∞。因此

C_\alpha(a;k)=[\theta_-,\theta_+]\cap(0,\infty).\tag{4}

L=U时，式(3)给整个(0,∞)。0和∞是描述区间形状的边界记号，不是假设参数真的可以取这些值。本页在端点观测时仍将每一尾固定为α/2，不临时改用单侧α。

直觉

总成功数k决定了这批资料一共出现多少成功。固定k以后，θ只控制这些成功更倾向于落在哪一组：θ大时，第一组取得较多成功的子表获得更高权重。每个表的组合数w_a记录产生它的标记数量，θ^a则给出相对倾向。

当观察数位于支持内部，可以把条件均值调到该位置；位于最左端时，任意正θ仍会给右边一些概率，只有θ不断减小才能更集中于观测端点。这是边界上确界的机制，不是求根精度不够。

置信区间则询问：哪些θ会使眼前的a落得过于靠左或靠右？左右尾各预留α/2，哪怕离散性使实际失败概率更小，也不将未用尽的概率事后挪到另一侧。

例子与边界

一张表产生三个不同的量

观测表为

组别	成功	失败	合计
第一组	2	1	3
第二组	1	2	3

此时n_1=n_0=3、k=3、a=2，支持为0、1、2、3，组合权重为1、9、9、1。因此

Z(\theta)=1+9\theta+9\theta^2+\theta^3.

样本交叉乘积比为4，它也是在两组内部样本比例都位于(0,1)时，将各自无条件MLE代入θ得到的值。条件均值方程却是

\frac{9\theta+18\theta^2+3\theta^3}{1+9\theta+9\theta^2+\theta^3}=2,

即 $\theta^3-9\theta-2=0$ 的唯一正根，给 $\widehat\theta_c\approx3.1054826165$ 。

取α=0.05，尾端点由

\frac{9\theta_-^2+\theta_-^3}{Z(\theta_-)}=0.025,\qquad \frac{1+9\theta_++9\theta_+^2}{Z(\theta_+)}=0.025

确定，数值为

C_{0.05}\approx[0.0674038649,\ 351.9974810].

条件MLE、交叉比和尾反演端点不同，是它们定义不同。区间很宽则忠实反映该固定边缘实验只有少量可能结果；把宽区间截短不会保持原来的覆盖证明。

左图单表与右图两独立层共同优势比的左右尾函数，均在每尾0.025处反演区间；右图保留各层边缘 — 等尾区间与不同条件实验

左图对应当前单表；右图对应本文末尾的共同优势比卷积接口，其完整输入见终点。两图都用对数坐标，淡蓝区域表示两条尾约束同时成立，不表示给参数分配了后验概率。

全部成功落在一组时

保留n_1=n_0=3、k=3，但观察a=3。条件MLE只有θ→∞的上确界。等尾区间仍有有限下端，它由 $\theta^3/Z(\theta)=0.025$ 决定；上端为∞，因为 $F_\theta(3)=1$ 对所有θ成立。

若k=0或k=n_1+n_0，支持只有一个点，每个θ都给相同的条件质量1。此时整个正实轴才是式(3)的答案。不能因为原表中某些格子为零，就无条件套一个“每格加半”的交叉比来代替条件似然与区间。

等尾反演和其他两侧检验

Fisher检验常见的另一种两侧约定，是累加零假设下概率不大于观测表概率的所有表。它与两份单尾α/2规则一般不同。本页式(3)只宣称是所写等尾检验的反演，不宣称恰好反演所有软件中名为“Fisher两侧”的p值。

零假设θ=1时，式(1)与旧Fisher页的中央分布一致；估计未知θ、检验一个指定θ、反演整族检验，是三个需要各自说明输出的任务。

推论与应用

尾单调性与覆盖的完整证明

对任意函数g，在有限支持上逐项微分式(1)，得

\frac d{d\eta}E_\theta g(A)=\operatorname{Cov}_\theta(g(A),A).

取A′为A的独立同分布副本，有

\operatorname{Cov}(g(A),A)=\tfrac12E[(g(A)-g(A'))(A-A')].

g递增时每项非负；若g在支持上并非常数，至少一对支持点给正贡献。因此 $R_\theta(a)$ 在L<a≤U时随θ严格增加， $F_\theta(a)$ 在L≤a<U时严格减少。结合θ向0和∞的极限，可得式(4)各根的存在与唯一。

固定真θ和k。右尾变量 $R_\theta(A)$ 是有效的离散尾p值：对任意t∈[0,1]，若集合 $\{a:R_\theta(a)\le t\}$ 非空，它由某个临界点c开始，其概率恰为R_θ(c)≤t；空集时概率为0。左尾同理。因此

\begin{aligned} P_\theta\{\theta\notin C_\alpha(A;k)\mid K=k\} &\le P_\theta\{R_\theta(A)<\alpha/2\mid K=k\}\\ &\quad+P_\theta\{F_\theta(A)<\alpha/2\mid K=k\}\le\alpha. \end{aligned}

这是检验反演的覆盖证明。两个尾变量不需要独立。对原模型的K再取平均，对每个p_1,p_0∈(0,1)也得到无条件覆盖至少1−α。离散性通常使覆盖大于名义值，“精确”在这里表示有限样本保证，而非每个参数处都恰好等于1−α。

稳定计算与停止证书

相邻未归一化质量满足

\frac{w_{a+1}\theta^{a+1}}{w_a\theta^a} =\theta\frac{(n_1-a)(k-a)}{(a+1)(n_0-k+a+1)},\qquad L\le a<U.\tag{5}

可以先用比值找到质量最大的位置，令该处相对重量为1，向左右递推，再统一归一化；也可在对数尺度计算全部质量并减去最大对数。这样避免直接计算巨大组合数与θ的幂。一次质量、均值或尾求值需要O(U−L+1)次算术及O(U−L+1)存储；只需一个目标尾时还可流式求和。

内部MLE和有限区间端点都可在η=logθ上求解。先检查支持与观测端点，排除应直接输出0、∞或无信息的情况；然后扩展左右η界，直到单调方程在两端异号，再二分。若最初有效括区间长度为B，欲将η端点宽度降到ε，需要至多 $\max\{0,\lceil\log_2(B/\varepsilon)\rceil\}$ 次二分。每步记录两端尾值，才能把数值根与单调括界一同交付；浮点结果若需严格认证，还应使用有向舍入或有理不等式复核。

多层共同优势比不是简单合并原表

若各层独立，并且都具有同一个θ，固定每层自己的总成功数后，第j层有多项式 $Z_j(\theta)=\sum_a w_{j,a}\theta^a$ 。联合分布中 $T=\sum_jA_j$ 的质量正比c_tθ^t，其中

\prod_j Z_j(\theta)=\sum_t c_t\theta^t.

系数c_t由有限卷积得到。于是对T可重复本页的均值方程和尾反演；同一θ与层间独立是必要模型输入。直接合并原始两组计数只固定合并总数，没有保留每层边缘，通常产生另一份条件多项式。完整迁移例见二元似然与条件推断终点。

参考资料

Alan Agresti，A Survey of Exact Inference for Contingency Tables，Statistical Science 7(1),1992,pp.131–153，§1.3与§2.2；固定边缘非中心超几何族、条件MLE与区间。本页明确采用全程α/2的等尾约定，包括端点观测。
Sean X. Chen and Jun S. Liu，Statistical Applications of the Poisson-Binomial and Conditional Bernoulli Distributions，Statistica Sinica 7,1997,pp.875–892，§2–3；条件有限分布及其归一化计算。

形式陈述 ​

两个二项组与目标参数 ​

条件MLE：内部根和边界上确界 ​

等尾置信集合及其覆盖 ​

一张表产生三个不同的量 ​

全部成功落在一组时 ​

等尾反演和其他两侧检验 ​

尾单调性与覆盖的完整证明 ​

稳定计算与停止证书 ​

多层共同优势比不是简单合并原表 ​

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