Wishart 分布

每个外积 $z{z}^T$ 都是沿观测向量方向的一块秩一散布。把这些块加起来，得到一张描述各方向能量和交叉关系的矩阵。

一个向量只能贡献至多一个随机方向。若只有两条高斯观测，却要估计五维散布，所得矩阵无论如何都不可能满秩。增加维度并不会创造更多独立信息。

样本协方差先减去了估计的均值，等于消耗一个行方向。因此由 $n$ 个观测形成的中心化散布只有 $n-1$ 个自由度。这个损失来自投影几何，可以精确证明，不只是无偏估计公式中的惯例。

两个二维向量的外积和 ​

若一次观测到的高斯行向量为 $z_1=(1,2{)}^T$、$z_2=(2,-1{)}^T$，则

这是某一次散布矩阵实现，不是它的期望。若生成模型为 $\mathrm{\Sigma }=I_2$、$\nu =2$，期望为 $2I_2$，而任意单位方向的 $a^{T}Wa$ 都有 ${\chi }_2^2$ 分布。

若只保留一个向量 $z=(z_1,z_2{)}^T$，则 $W_{12}^2=W_{11}{W}_{22}$，行列式恒为零。两个对角元即使都正，也不能说明矩阵可逆。

矩阵条目一般不独立 ​

取 $p=2,\nu =2$、$\mathrm{\Sigma }=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$。下面的矩公式给出

即使 $\mathrm{\Sigma }=I_p$，部分条目协方差可能为零，也不能把整个矩阵的所有条目当成相互独立；对称性和半正定约束已把它们联系起来。

非正态样本不能原样套用 ​

任意有限二阶矩样本的散布都有相应期望，但精确 Wishart 分布依赖高斯性。重尾样本、行间相关、异方差行或非零均值未扣除，都会改变分布。非零均值的高斯外积和属于非中心版本，也不是本页的中心 Wishart。

此外，本文用整数自由度的高斯构造。某些资料通过矩阵密度把非奇异 Wishart 扩展到非整数自由度；那是进一步的参数扩展，不能再字面解释成“若干条独立行”的数目。

方向卡方、秩与矩公式 ​

对固定 $a$，$a^T{Z}_i/\sqrt{a^T\mathrm{\Sigma }a}$ 是独立标准正态，平方后求和即得方向卡方结论。把 $Z_i^T$ 排成数据矩阵 $Z$，则 $W=Z^{T}Z$，秩等于 $Z$ 的秩。正定 $\mathrm{\Sigma }$ 使每行有全维密度，随机行或列除非落入一个零测度的线性依赖集合，否则会达到允许的最大秩。

高斯四阶矩满足

可从 $E{e}^{t^{T}Z}=e^{t^T\mathrm{\Sigma }t/2}$ 对四个坐标求导验证。不同观测行独立，因此

这个式子保留随机协方差各条目间的共同波动，不能由各自的单变量方差替代。

正交投影精确决定自由度 ​

令 $Z\sim {\mathrm{MN}}_{n,p}(0,I_n,\mathrm{\Sigma })$，即矩阵正态公理库矩阵正态分布Matrix normal distribution · Matrix-variate normal distribution在列优先向量化约定下，以可分离的行列协方差描述联合正态矩阵，并明确密度、线性变换与参数尺度不识别。的独立行模型。若 $P$ 是对称幂等投影、秩为 $r\ge 1$，用正交矩阵公理库正交矩阵与酉矩阵Orthogonal matrix · Unitary matrix · 酉矩阵在实或复内积空间中保持内积的方阵，其逆分别等于转置或共轭转置。 $Q$ 对角化为 $Q^{T}PQ=\mathrm{diag}(I_r,0)$。

行正交变换 $Q^{T}Z$ 仍由独立 $N_p(0,\mathrm{\Sigma })$ 行组成，所以

若 $P_1{P}_2=0$，对应的投影高斯行分量独立，故 $Z^T{P}_{1}Z$ 与 $Z^T{P}_{2}Z$ 独立。零秩投影则产生恒零矩阵。

对独立 $X_i\sim N_p(\mu ,\mathrm{\Sigma })$，令

中心化矩阵 $P=I_n-\mathbf{1}{\mathbf{1}}^T/n$ 是秩 $n-1$ 的投影，与均值方向的投影正交。因此

这三个结论共同支撑精确的多变量均值推断；只知道 $ES=\mathrm{\Sigma }$ 还远远不够。

一个紧凑的变换刻画 ​

对半正定矩阵 $T$，独立行和高斯积分给出

证明只需先对单行白化，再对 ${\mathrm{\Sigma }}^{1/2}T{\mathrm{\Sigma }}^{1/2}$ 对角化；每个独立标准正态方向贡献 $(1+{\lambda }_j{)}^{-1/2}$，最后乘上 $\nu$ 行。这个变换立即说明：同尺度且独立的 Wishart 矩阵相加，自由度相加；对固定 $A$ 作 $AW{A}^T$，则尺度变成 $A\mathrm{\Sigma }{A}^T$，可能退化。