Myerson 单物品最优拍卖定理

形式陈述 ​

一件不可分物品面对有限个风险中性买家 $i=1,\dots ,n$。卖家保留物品的价值为零，买家退出的效用为零。沿用直接显示机制公理库直接显示机制Direct-revelation mechanism · 直接报告机制 · 显示原理 · Revelation principle用类型报告、结果规则和支付规则区分真实偏好与策略选择，写清占优策略及贝叶斯激励约束，并以策略模拟证明直接显示原理。的私人价值和支付约定：买家 $i$ 的真实估值为 $v_i$，向卖家支付 $p_i>0$，得到物品时获得价值 $v_i$。买家的效用对金钱线性，对随机结果按期望评价。

估值 $V_i$ 相互独立公理库独立性Statistical independence从概率表理解独立性，区分两两、相互和条件独立，并用可计算反例澄清零协方差与条件均值的限度。，支持集为 $[0,b_i]$，其中 $0<b_i<\mathrm{\infty }$。分布函数 $F_i$ 满足 $F_i(0)=0,F_i(b_i)=1$；其在这个闭区间上的限制连续可微，端点导数按单侧理解，密度公理库概率密度函数Probability density function · PDF概率分布相对于指定参考测度的 Radon–Nikodym 导数。 $f_i=F_i^{\prime }$ 连续且处处严格为正。这里没有要求延拓到整个实轴的分布函数在支持集端点可微。定义虚拟估值

$${\varphi }_i(t)=t-\frac{1-F_i(t)}{f_i(t)},0\le t\le b_i.$$

假设每个 ${\varphi }_i$ 非递减，称为本页使用的正则性。这些假设使虚拟估值在端点也有明确的有限值：${\varphi }_i(0)=-1/f_i(0)<0$，${\varphi }_i(b_i)=b_i>0$。它们比一般版本的定理强一些，但同时涵盖下面的均匀分布例子，并避免用端点处未定义的密度比值定价。

机制、参与约束与结论 ​

报告剖面 $v$ 上，$x_i(v)$ 表示买家 $i$ 获物的概率，$p_i(v)$ 表示其向卖家的期望支付。分配可行性要求

$$x_i(v)\ge 0,\sum _i{x}_i(v)\le 1.$$

两种规则均可测；机制内部的随机支付要求绝对可积，再以其期望定义 $p_i$。对下面比较的机制，还要求每个固定报告 $t$ 都有 ${\mathbb{E}}_{V_{-i}}|p_i(t,V_{-i})|<\mathrm{\infty }$，以及 $\mathbb{E}|p_i(V)|<\mathrm{\infty }$。这既让每个类型的激励约束有有限意义，也让卖家的收入及随后交换的支付积分存在。

独立性允许对每个真实类型使用同一个对手分布。记中期分配、支付与诚实效用为

$$Q_i(t)={\mathbb{E}}_{V_{-i}}{x}_i(t,V_{-i}),P_i(t)={\mathbb{E}}_{V_{-i}}{p}_i(t,V_{-i}),U_i(t)=t{Q}_i(t)-P_i(t).$$

本页的连续类型 BIC 要求对所有 $t,r\in [0,b_i]$，$U_i(t)\ge t{Q}_i(r)-P_i(r)$；中期个体理性要求所有 $t$ 上 $U_i(t)\ge 0$。因此约束也包括概率为零的端点类型，不是只在几乎处处成立。DSIC 则在固定任意对手报告后作同样比较，事后个体理性也逐个报告剖面检查。

定理。 在上述条件下，以下机制在所有满足 BIC 和中期个体理性的可行直接机制中最大化期望收入，包括使用随机分配与随机支付的机制：若所有虚拟估值均为负，则不出售；否则把物品交给虚拟估值最大的买家，以事先固定的公开买家顺序处理并列，并向赢家收取使其能够获胜的临界估值，输家支付零。该机制实际为确定性的，满足 DSIC 和事后个体理性，其最优收入为

$${\mathrm{Rev}}^{\ast }=\mathbb{E}[max\{0,{\varphi }_1(V_1),\dots ,{\varphi }_n(V_n)\}].$$

“临界估值”按获胜报告集合的下确界定义；是否在临界点获胜仍遵循公开的并列规则。下面证明这一点不会造成支付或激励上的缺口。

第一步：从所有偏离推出单调性和支付公式 ​

先暂时不使用分布。考虑一名买家的一维报告规则 $q:[0,b]\to [0,1]$、有限支付 $p$，诚实效用为 $U(t)=tq(t)-p(t)$。这里的 $q,p$ 可以是固定对手报告后的规则，也可以是中期规则 $Q,P$。若诚实最优，对 $s<t$ 分别比较“类型 $t$ 改报 $s$”和“类型 $s$ 改报 $t$”，得到

$$(t-s)q(s)\le U(t)-U(s)\le (t-s)q(t).$$

于是 $q(s)\le q(t)$，即分配必须非递减。再取 $[0,t]$ 的分割 $0=t_0<\cdots <t_m=t$，把相邻区间的不等式相加：

$$\sum _{k=1}^m(t_k-t_{k-1})q(t_{k-1})\le U(t)-U(0)\le \sum _{k=1}^m(t_k-t_{k-1})q(t_k).$$

左右两和之差至多为分割网格大小乘以 $q(t)-q(0)$，故当网格趋零时趋于零。有界单调函数可积，两和收敛到同一个积分。因此不需要 $q$ 可微，甚至不需要其连续，就有

$$U(t)=U(0)+{\int }_0^{t}q(z)dz,p(t)=tq(t)-{\int }_0^{t}q(z)dz-U(0).$$

反过来，任取非递减的 $q$ 和常数 $U(0)$，按此式定义 $p$。若 $r<t$，诚实相对改报 $r$ 的效用增量是

$${\int }_r^t[q(z)-q(r)]dz\ge 0;$$

若 $r>t$，增量是

$${\int }_t^r[q(r)-q(z)]dz\ge 0.$$

$r=t$ 时两者相等。这证明了充分性，也说明跳跃分配和边界并列无需另加光滑化。因为 $q\ge 0$，所有类型的个体理性恰等价于 $U(0)\ge 0$；取 $U(0)=0$ 称为零基准效用归一化。支付中这个常数不能随意丢掉：提高统一入场费会降低 $U(0)$，并可能违反最低类型的参与约束。

第二步：把期望支付变成虚拟剩余 ​

对任意上述 $q$，非负性允许使用 Tonelli 定理公理库Tonelli 定理Tonelli's theorem非负可测函数的二重积分与两种迭代积分相等，允许共同取无穷。交换积分：

$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[{\int }_0^{V}q(z)dz]& ={\int }_0^b{\int }_0^{t}q(z)dzf(t)dt\\ & ={\int }_0^{b}q(z)({\int }_z^{b}f(t)dt)dz\\ & ={\int }_0^{b}q(z)(1-F(z))dz.\end{array}$$

将其代入支付公式，并按期望公理库期望Expectation · Expected value实值或复值随机变量关于概率测度的 Lebesgue 积分，概括加权平均与总体质量平衡。的密度积分定义合并两项，得到

$$\mathbb{E}p(V)={\int }_0^b[tf(t)-(1-F(t))]q(t)dt-U(0)=\mathbb{E}[\varphi (V)q(V)]-U(0).$$

这条等式解释了虚拟估值中的扣除项：增加某类型的获物概率，同时影响更高类型必须得到的效用；期望支付不能仅按估值乘分配概率计算。

现在对任意 BIC 机制的 $Q_i,P_i$ 应用第一步和这个等式。独立性保证真实类型为 $t$ 或报告为 $r$ 时，对手的分布没有变，因而 BIC 正好给出第一步所需的两条不等式。于是

$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}\sum _i{p}_i(V)& =\sum _i\mathbb{E}[{\varphi }_i(V_i)Q_i(V_i)]-\sum _i{U}_i(0)\\ & =\mathbb{E}\sum _i{\varphi }_i(V_i)x_i(V)-\sum _i{U}_i(0).\end{array}$$

支付的绝对可积性保证第一行的迭代期望成立；虚拟估值在紧区间上有界、$0\le x_i\le 1$，保证第二行也可交换积分。对 DSIC 机制还可先固定对手报告推导同一个恒等式，最后平均其基准效用；这里直接使用中期规则，才能把比较范围完整覆盖到 BIC 机制。

第三步：达到逐点上界并核验临界支付 ​

记 $M(v)=max\{0,{\varphi }_1(v_1),\dots ,{\varphi }_n(v_n)\}$。可行性给出每个剖面上的上界

$$\sum _i{\varphi }_i(v_i)x_i(v)\le M(v)\sum _i{x}_i(v)\le M(v).$$

中期个体理性又给出 $U_i(0)\ge 0$，所以任何纳入比较的机制收入都不超过 $\mathbb{E}M(V)$。定理中的分配规则逐点取得这个上界：有非负最大虚拟估值时把全部概率交给其中一人，否则全部概率为零。

还必须证明这条最优分配能够由诚实支付实现。固定对手报告，增加买家 $i$ 的报告只会使其虚拟估值不降；其他人的虚拟估值及公开优先级不变。因此已经获胜的买家不会因提高报告而落败，$q_i(t)=x_i(t,v_{-i})$ 是取值于 $\{0,1\}$ 的非递减函数。

令获胜集合为 $W$。若 $W=\varnothing$，取支付恒为零，支付公式成立。若 $W=[0,b_i]$，分配恒为一，零基准公式也给出支付恒为零。其余情形令 $c=infW$；单调性说明所有 $t<c$ 都落败、所有 $t>c$ 都获胜，$t=c$ 可因并列规则获胜或落败。因单个端点不改变积分，零基准公式化为

$$p_i(t,v_{-i})=\{\begin{array}{ll}0,& t\notin W,\\ c,& t\in W.\end{array}$$

这也覆盖 $W=\{b_i\}$、$c=0$ 以及临界点不属于 $W$ 的情况；空集情形不以无穷阈值向任何人收费。支付公式的充分性证明了 DSIC，且赢家支付 $c\le t$、输家支付零，所以事后个体理性成立。支付始终位于 $[0,b_i]$，满足前面的可积性要求。在本定理的具体分配中，${\varphi }_i(0)<0$ 还保证零类型落败且不付款，故每个固定对手报告下基准效用均为零，中期 $U_i(0)$ 也为零。虚拟剩余上界因此被收入真正达到，完成对全部 BIC、中期个体理性机制的最优性证明。

直觉

福利最大化问的是物品给谁带来最大价值；收入最大化问的是，在买家可以改报和退出的条件下，卖家最多能收走多少。后一个问题不能逐个类型独立收费：如果低报告也能拿到物品，高类型就有动机假扮成低类型。包络公式把这些跨类型约束压缩成一个积分，虚拟估值再把积分对收入的影响压缩成一个修正后的分配权重。

正则性在证明中承担一个具体任务：按虚拟估值最大化之后，分配仍随自身估值单调。如果这一点成立，逐点最优的统计目标就能接上支付公式，实现为诚实机制。正则性不是说每种估值都应当出售；虚拟估值为负时，出售带来的直接收入不足以抵消维持整体激励所需的效用让渡，保留物品反而增加期望收入。

临界支付也不是向赢家收取其虚拟估值。虚拟估值用于决定谁赢；钱款仍用原来的估值单位计算，等于在其他报告固定时刚好进入获胜区间的阈值。赢家提高报告但没有改变输赢时，付款不会随之提高，这正是不能靠少报而少付款的原因。

例子与边界

两位独立均匀买家：从分布一直算到收入 ​

令 $V_1,V_2$ 独立且均匀分布于 $[0,1]$。此时 $F(t)=t,f(t)=1$，所以

$$\varphi (t)=2t-1.$$

虚拟估值严格递增，并在 $r=1/2$ 处过零。因此物品交给不低于保留价 $1/2$ 的最高报告者；若两人都低于保留价，则不出售。赢家支付 $max\{1/2,\text{另一人的报告}\}$，输家支付零。报告 $(0.8,0.3)$ 的支付为 $(0.5,0)$，报告 $(0.8,0.7)$ 的支付为 $(0.7,0)$；两人都报告 $0.4$ 时不成交。恰好报告 $1/2$ 的买家可以获胜并支付 $1/2$，得到零效用。

为看清收入增量，先对任意共同保留价 $r\in [0,1]$ 计算第二价格拍卖收入。恰有一人达到保留价的概率为 $2r(1-r)$，此时付款为 $r$，对无条件期望收入的贡献为 $2r^2(1-r)$。两人都达到保留价时付款为两值的最小者；在有序区域中，较小值为 $y$，较大值遍历 $[y,1]$，故贡献为

$$2{\int }_r^{1}y(1-y)dy=\frac{1}{3}-r^2+\frac{2}{3}{r}^3.$$

两人都低于保留价时贡献为零，相加得到

$$R(r)=\frac{1}{3}+r^2-\frac{4}{3}{r}^3,R(1/2)=\frac{5}{12},R(0)=\frac{1}{3}.$$

所以最优保留价相对零保留价多收 $1/12$，即期望收入提高 $25\mathrm{\%}$。独立复算也可直接使用定理：最大估值 $M=max(V_1,V_2)$ 的分布函数为 $m^2$、密度为 $2m$，因而

$$\mathbb{E}(2M-1{)}_{+}={\int }_{1/2}^1(2m-1)2mdm={[\frac{4}{3}{m}^3-m^2]}_{1/2}^1=\frac{5}{12}.$$

求导 $R^{\prime }(r)=2r(1-2r)$ 可以验证 $r=1/2$ 在共同保留价这一族里最优。排除非保留价形式、随机机制以及仅有 BIC 保证的其他机制，则依赖前面的虚拟剩余上界，不能由这一次求导推出。

分布不同，最高原始报告未必获胜 ​

设买家 1 均匀分布于 $[0,1]$，买家 2 均匀分布于 $[0,2]$，且相互独立。两者都正则，但虚拟估值分别为 $2t-1$ 与 $2t-2$。在报告 $(0.9,1.1)$ 时，虚拟估值为 $(0.8,0.2)$，所以原始报告更低的买家 1 获胜。

固定第二人的报告为 $1.1$，第一人要获胜须使 $2t-1$ 至少达到 $0.2$，其临界估值为 $0.6$，故实际支付 $0.6$；在临界点是否获胜由公开顺序决定。这个支付既不同于第二人的报告 $1.1$，也不同于赢家当前的虚拟估值 $0.8$。若把第一人的报告提高到 $0.95$，其虚拟估值升为 $0.9$，付款仍为 $0.6$。不同分布下应比较虚拟估值，不能直接套用最高出价加统一保留价。

定理没有覆盖的模型改变 ​

若虚拟估值不单调，逐点最大化可能使买家提高报告后反而失去物品，第一步已经证明这种分配不能配上 DSIC 支付。一般非正则情形需要熨平等额外构造，不属于这里证明的规则。若类型相关，给定自身类型后的对手分布随类型改变，中期偏离的两边不能再用同一个固定平均算子；本页的边缘虚拟估值收入恒等式也就不能照搬。

硬预算、风险厌恶以及卖家持有物品有非零价值，会改变效用或目标，不能只在现成支付公式里替换一个数字。尤其应保留参与约束：若允许最低类型的期望效用为负，机制可通过额外收费抬高收入，定理的上界便不再适用。这里的最优性针对已经明确写出的机制和参与范围，并不把福利、预算可行性或抗合谋等其他目标一并解决。

推论与应用

包络公式立即给出一个限定明确的收入等价结论：在同一独立估值环境中，若两个 BIC 机制对每位买家有相同的中期分配函数 $Q_i$，并且零类型的中期效用 $U_i(0)$ 相同，则它们每个类型的中期支付 $P_i(t)$ 相同，因而期望总收入相同。所需条件是分配和基准效用相同，不能简化成“所有诚实拍卖收入都相同”。

VCG 机制公理库VCG 机制Vickrey–Clarke–Groves mechanism · Clarke pivot rule · Clarke 枢轴支付 · Groves mechanism精确最大化申报福利，并按其他参与者损失的福利收费；通过双物品拍卖计算全部枢轴支付、证明诚实占优，再定位近似分配破坏证明的位置。在单物品、非负估值下给出零保留价的第二价格拍卖，始终实现最高估值的福利。在均匀例子中，它的收入为 $1/3$；Myerson 机制用保留价把收入提高到 $5/12$，但当两个正估值都低于 $1/2$ 时不出售，因而舍弃了这一部分福利。两种机制都诚实，差别来自优化目标和分布信息，而不是诚实程度。

实际复算一个正则单物品模型时，可以沿证明顺序完成四件事：由给定分布算出各自的虚拟估值，检查其单调性，按非负最大虚拟估值确定获胜区域，再回到原始估值坐标求各买家的临界付款。最后用收入恒等式检查期望支付。这个顺序让分配、激励、参与和收入四个问题各有可验证的依据，也使所得结论明确依赖于给定的估值分布。

参考资料

• Tim Roughgarden，CS364A Lecture 3: Myerson's Lemma，2013-09-30，§§2–5、Theorem 4.3，pp. 2–6；单参数可实现性、分配单调性与归一化支付公式。本页用分割和证明包络恒等式，直接涵盖不连续的单调分配。
• Tim Roughgarden，CS364A Lecture 5: Revenue-Maximizing Auctions，2013-10-07，§§1.2–3.2，pp. 2–8；虚拟剩余、正则分布及两位均匀买家的收入比较。讲义 §3.2 说明向 BIC 最优性的扩展；本页通过中期分配和支付把所用独立连续类型版本的推导写出。