Bell 测量

计算基测量只能直接读出 $00,01,10,11$。Bell 解码先做一个可逆换基，把四个待区分向量分别送到这四个标签，再读标签。它测的是两个寄存器的联合关系；分别测两边的计算基会丢掉区分加号和减号的信息。稳定子码公理库稳定子码Stabilizer code · 稳定子量子码以对易 Pauli 的共同本征空间编码量子信息，构造综合测量与恢复信道，并证明三比特码对相干比特翻转的纠正范围。也测量对易 Pauli 的共同本征值，但用辅助寄存器保留同一综合子空间内的逻辑叠加。

例如 ${\mathrm{\Phi }}^{+}$ 与 ${\mathrm{\Phi }}^{-}$ 直接测计算基都只给出 $00$ 或 $11$，各半。Bell 测量却分别确定输出 $00$ 与 $10$。这不矛盾：两种装置测量的正交基不同。

逆电路如何读出四个标签 ​

由于 $H$ 和 CNOT 都等于自己的逆，制备矩阵的逆为

因此实际先做 CNOT、再做 $H_Q$，最后分别测 $Q,A$。以最容易出符号错误的 $11$ 为例，

其他三行由 $DW=I$ 同时保证，故该电路确定区分全部 Bell 输入。对一般输入 $\sum _{mn}{c}_{mn}|B_{mn}⟩$，解码后为 $\sum _{mn}{c}_{mn}|mn⟩$，测出各标签的概率为 $|c_{mn}{|}^2$。

同样的概率，留下不同的量子态 ​

若直接采用 Lüders 投影更新，结果 $mn$ 的操作算子是 $P_{mn}$。若执行上述逆电路再测计算基，操作算子则是

两者满足 $P_{mn}^{†}{P}_{mn}=L_{mn}^{†}{L}_{mn}=P_{mn}$，所以对所有输入给出同一结果概率；但前者留下 Bell 向量 $|B_{mn}⟩$，后者留下计算基向量 $|mn⟩$。例如输入 ${\mathrm{\Phi }}^{+}$ 都确定得到标签 $00$，两种留下的状态分别为 ${\mathrm{\Phi }}^{+}$ 和 $00$。把概率等价说成完整状态更新等价会出错。

若 $QA$ 还与未测量的 $B$ 相关，定义未归一化算子

两种实现的未归一化分支分别为 $P_{mn}\otimes {\sigma }_B^{mn}$ 与 $|mn⟩⟨mn|\otimes {\sigma }_B^{mn}$。当 $\mathrm{Tr}{\sigma }_B^{mn}>0$ 时，它们对 $B$ 留下相同的条件态 ${\sigma }_B^{mn}/\mathrm{Tr}{\sigma }_B^{mn}$；零概率结果不定义条件态。只有丢弃测后的 $QA$，并保留相同经典标签时，二者才提供这里需要的相同接口。

量子传态公理库量子传态Quantum teleportation · 量子隐形传态以预共享 Bell 对和两位经典消息传输未知 qubit 状态，逐分支证明校正，并计算消息到达前的最大混合态。让 Alice 对本地 $QA$ 做这次测量，把 $m,n$ 发给持有 $B$ 的 Bob。Bob 的校正依赖标签与基向量的精确对应，不能换了寄存器次序却照搬原校正表。

超密编码公理库量子通信复杂度Quantum communication complexity允许双方交换量子寄存器并选择是否预共享纠缠，以 qubit 数、经典 bit 数和错误概率共同衡量协议。则让 Bob 收到另一半 qubit 后，在自己实验室内联合解码。两种协议都使用 Bell 测量，但量子寄存器何时位于同一实验室、哪一条消息跨实验室，是不同的资源条件。

自测：对 $(|B_{00}⟩+i|B_{11}⟩)/\sqrt{2}$ 执行解码测量，只有 $00,11$ 各以 $1/2$ 出现。测前删掉 $i$ 会改变输入纯态，尽管这次测量的概率未变；测得某个标签后，该条件分支中的整体相位才可以忽略。

Bell 基测量与CHSH 检验公理库CHSH 不等式CHSH inequality · Tsirelson bound在两方各有两个二值测量设置时，比较经典局域关联上界 2 与量子上界 2√2。承担不同任务。前者联合区分四个纠缠基态，后者让分离的双方分别选择两个本地二值设置，再比较四组相关是否超出局域隐藏变量界。知道如何测 Bell 基，并不意味着已经实现所需的分离测量或验证了 Bell 非局域性。