量子振幅编码与状态制备

先决定概率质量落在前半还是后半，再在选中的一半里继续二分。每个分支使用“孩子质量除以父质量”的平方根作振幅比，沿整条路径相乘时中间分母相消，最终就得到所需坐标的绝对值。

这一步只处理大小；复数的相位要另外接上。只知道总范数，甚至只知道每个坐标的概率，也不一定知道正确的相对相位。

前缀质量决定每个旋转 ​

对长度不足 $n$ 的二进制前缀 $s$，定义

若 $M_s>0$，在前缀为 $s$ 的分支，对下一个初始为0的qubit施

这里使用 $R_Y(\theta )=e^{-i\theta Y/2}$ 的约定。若 $M_s=0$，该前缀振幅为0，后续角度任意，可取0避免除零。

归纳地，完成前 $k$ 层后，前缀 $s$ 的振幅为 $\sqrt{M_s/M_{\varnothing }}$。再乘上述比例就得到孩子振幅，所以叶子 $j$ 的振幅为 $|v_j|/\Vert v{\Vert }_2$。

最后令 $v_j=|v_j|e^{i{\varphi }_j}$，施已知对角相位 $|j⟩\mapsto e^{i{\varphi }_j}|j⟩$。零坐标的相位任意；所有坐标共有的相位可按所需接口约定处理。

四个坐标完整算一遍 ​

取 $v=(1,1,2,0)$，其平方质量为 $(1,1,4,0)$，范数 $\sqrt{6}$。第一位的两支质量为2、4，所以首旋转给

在首位为0时，第二位需等分，施 $R_Y(\pi /2)$；首位为1时，全部质量在第二位0，施恒等。结果为

第一角可写为 $2{\theta }_{\varnothing }=2\arccos \left(1/\sqrt{3}\right)$。这是一个首旋转加一个零控制条件旋转；零控制可用控制线两侧的 $X$ 换成通常的1控制。

若向量改成 $(1,1,2i,0)$，前面的质量树完全相同，但还须在 $|10⟩$ 分支添加相位 $i$。省去这一步会给相同计算基概率，却是不同量子态。

范数信息远远不够 ​

$(1,0,0,0)$ 与 $(0,0,0,1)$ 范数均为1，对应态却正交。只提供范数的接口无法告诉制备器应输出哪一个。

即使所有 $|v_j|$ 相同，相对相位仍可编码不同状态。例如 $(1,1)/\sqrt{2}$ 与 $(1,-1)/\sqrt{2}$ 在计算基测量中都均匀，但前者是 $|+⟩$、后者是 $|-⟩$，经 $H$ 后可完全区分。

门数和数据处理成本 ​

二叉树有 $O(N)$ 个节点，显式列表的平方质量可自底向上用 $O(N)$ 次算术运算计算；算术位成本取决于输入精度。每层是一个按所有前缀选择角度的均匀受控旋转，而不是一枚普通单qubit门。

使用均匀受控旋转的CNOT分解，全部层及相位处理可用 $O(N)$ 个任意角单qubit旋转和CNOT实现。[1, §§II–III] 这是特定合成方法的门数界；若逐个多控制门朴素分解，可能多出 $\log N$ 因子，不能把那种实现也直接记成同一个优化界。

在 $N=2^n$ 时，一般纯 $n$-qubit态有 $2N-2$ 个实自由度。若门库中的每个连续旋转只携带常数个参数，精确覆盖全部态所需参数数目本来就是 $\mathrm{\Omega }(N)$。这不排除某些结构化向量有短电路，也不是对所有近似、所有强oracle接口的一概下界。

在经典列表读取模型中，最坏情况也需 $\mathrm{\Omega }(N)$ 次读取：若向量只有一个未知位置为1，其余为0，输出态必须定位该位置；一个只读取少量条目的经典预处理器通常连非零位置都找不到。若改给相干值查询，量子搜索可以改变读取复杂度，所以这个经典读取论证不能原样搬到相干oracle模型。

精度、逆电路与受控版本 ​

若实际向量 $\tilde{v}$ 满足 $\Vert v-\tilde{v}{\Vert }_2\le \eta \Vert v{\Vert }_2$、$0\le \eta <1$，则由三角不等式和范数的反三角不等式，

因此要先控制相对向量误差，而不能只规定每个坐标同一个绝对误差却忽略小范数输入。电路合成另有误差：若 $G$ 个旋转各近似到算子误差 $\delta$，逐门替换总误差至多 $G\delta$；固定门集合成预算公理库固定门集近似与测量误差预算Finite gate approximation · Quantum gate synthesis error budget从单qubit旋转的算子误差推到任意参考系统上的测量总变差，逐门分配合成预算，并处理受控门中的相对相位。应为这部分留出精度。

已知整个 $U_v$ 电路时，可反转门序并取逆得到 $U_v^{†}$，门数相同。只给“每次输出一份 $|v⟩$”的设备，却不一定提供可逆、可相干控制的酉接口；振幅放大公理库振幅放大Amplitude amplification · Quantum amplitude amplification用状态制备及其逆与两次选择性反射，将任意过程的成功振幅按二维旋转规律放大。所需的逆调用不能从一份样本自动获得。

LCU公理库酉算子的线性组合实现Linear combination of unitaries · LCU method用PREP、SELECT和逆制备把矩阵线性组合实现为辅助零分支，显式计算I加2Z的成功和失败输出，并把选择访问、相位和后选择成本纳入契约。把这种制备用于系数寄存器，量子线性系统公理库HHL 量子线性系统算法HHL algorithm · Quantum linear systems algorithm明确HHL输出归一化解态而非经典坐标，逐谱分支推导倒数旋转与后选择，控制相位估计尾部和条件数，并把制备、模拟、放大与观测采样成本分别计入。则把 $|b⟩$ 制备作为输入步骤。任何声称整体只依赖 $\log N$ 的复杂度，都必须说明这一步为何便宜，而不只是展示输出态占用多少qubit。