多数最稳定定理

大规模多数把每一票的权重分散到许多人，归一化总票数趋近 Gaussian。固定通过比例时，阈值规则在高斯空间对应半空间；高斯噪声稳定性极值定理说，半空间最能保留相关。

布尔函数只要没有强势单一坐标，就能通过不变性原理与这个高斯极值比较。因此“多数最稳定”描述低影响函数族的渐近最优性，不是每个有限人数的多数都逐一压过其他规则。

证明如何连接两个空间 ​

先对 $f$ 轻微加噪声，使高阶 Fourier 质量快速衰减，再截断到有限次数。低影响不变性原理公理库低影响多项式的不变性原理Invariance principle for low-influence polynomials对低次数、低坐标影响的多线性多项式，逐坐标替换均匀 bit 与 Gaussian 输入并控制平滑测试误差。允许将剩余多项式的输入换成 Gaussian，同时控制平滑统计的误差。

Gaussian 上应用 Borell 的固定均值稳定性上界，最优对象为半空间。随后控制截断、平滑和取值范围修正的误差，转回原函数。这三段分别解释了非负相关、低影响及误差余量为何出现在定理条件中。

ρ=1/2 时的可比较数值 ​

平衡高斯界为 $(2/\pi )\arcsin \left(1/2\right)=1/3$。奇数位多数在人数趋大时稳定性趋近 $1/3$，且单坐标影响约为 $\sqrt{2/(\pi n)}\to 0$，所以达到定理的渐近界。

三位多数却有 ${\mathrm{Stab}}_{1/2}=3/8+1/32=13/32\approx 0.40625$，高于 $1/3$。这不矛盾，因为它每位影响为 $1/2$，未必满足给定小误差对应的低影响阈值。

独裁者 $f=x_1$ 的稳定性为 $\rho =1/2$，更高；但其最大影响为一，明确被条件排除。常量函数稳定性为一，则又不满足平衡均值。这两个例子说明低影响与固定均值都不可省略。

负相关需要另看 ​

本页不把同一最大化结论延伸到 $\rho <0$。此时奇偶层的符号交替，稳定性的比较方向与极值问题都会变化。$\rho =0$ 时稳定性仅为 ${\mu }^2$，$\rho =1$ 时布尔函数稳定性恒为一，两个端点本身已退化为直接计算。

在投票模型中，这给出一个精确的设计问题：固定赞成率，并限制任何单一选民的影响，怎样让随机翻票后结果尽量稳定。定理回答的是均匀独立投票模型下的极限问题；现实相关投票或不同票权需另外建模。

在复杂性论证中，同一结构用来比较独裁函数和低影响函数的测试通过率。作为应用工具时，要保留其误差参数和量词，不能把渐近极值直接当成有限实例的无误上界。