低影响多项式的不变性原理

若没有哪个坐标独自决定多项式值，那么替换一位输入只造成很小改变。bit 与 Gaussian 的前几阶矩相同，平滑测试的低阶 Taylor 项相互抵消；将每次的小余项累积起来，仍得到可控误差。

替换证明的每一步 ​

依次把 $X_1,\dots ,X_n$ 换成 $G_1,\dots ,G_n$。处理坐标 $i$ 时，多线性保证可写 $Q=A+z_{i}B$，其中 $A,B$ 与 $z_i$ 独立，$B$ 的次数至多 $d-1$。

围绕 $A$ 对 $\phi (A+z_{i}B)$ 使用三阶Taylor 展开及四阶余项界公理库泰勒定理Taylor's theorem足够光滑函数由有限阶导数多项式加余项表示。。两种输入的零至三阶矩均相同：均值零、方差一、三阶矩零。两边的 Taylor 余项总共至多

超压缩页的混合输入四阶矩界公理库布尔超压缩不等式Boolean hypercontractivity · Bonami-Beckner inequality给出布尔噪声算子从 Lp 到 Lq 收缩所需的精确噪声强度，并说明张量化如何消去维数依赖。适用于这里的独立 bit/Gaussian 坐标，给 $\mathbb{E}{B}^4\le 9^{d-1}(\mathbb{E}{B}^2{)}^2=9^{d-1}{\mathrm{Inf}}_i(Q{)}^2$。求和并用 $\sum _i{\mathrm{Inf}}_i(Q)\le d$、每项至多 $\tau$，即得到所述界。

归一化和是最简单的例子 ​

取 $Q_n(z)=n^{-1/2}\sum _i{z}_i$。次数 $d=1$，方差为一，每个影响为 $1/n$。Gaussian 输入下 $Q_n(G)$ 恰是标准正态；上述平滑测试误差至多 $M/(6n)$。

例如 $\phi (t)=t^4$，$M=24$。直接算得 $\mathbb{E}{Q}_n(X{)}^4=3-2/n$、$\mathbb{E}{Q}_n(G{)}^4=3$，实际差为 $2/n$，确实小于界 $4/n$。这个例子展示了定理控制的是输出统计，而非逐样本数值相等。

两个不可省略的条件 ​

若 $Q(z)=z_1$，最大影响为一，bit 输出只有两个点，Gaussian 输出连续，不会因加入更多无关坐标而变得接近。若使用非多线性表达式 $Q(z)=z_1^2$，bit 输出恒为一，Gaussian 输出为随机平方；即便形式上次数很低，也不属于当前定理。

指标函数 $\phi =\mathbf{1}\{t\le a\}$ 不满足平滑条件。要推出分布函数接近，需要平滑逼近并控制阈值附近的反集中概率；不能把上式直接代入一个不连续测试。

多数最稳定定理公理库多数最稳定定理Majority is stablest theorem在均匀输入、固定均值和所有坐标影响足够小时，以高斯半空间给出噪声稳定性的渐近最优上界。先用噪声削弱高阶项，再将低影响的剩余多项式移到 Gaussian 空间，应用高斯几何极值结论，最后转回布尔立方体。次数、影响和平滑化误差必须一起分配，不能只喊“像中心极限定理”就略过它们。