Frobenius 互反定理 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $G$ 为有限群， $H\le G$ ， $V$ 为有限维复 $G$ 表示， $W$ 为有限维复 $H$ 表示。采用诱导表示的函数模型

I(W)=\{f:G\to W:f(hx)=\rho_H(h)f(x)\}, \qquad (\rho_I(g)f)(x)=f(xg).

Frobenius 互反定理给出线性同构

\boxed{\operatorname{Hom}_G(V,\operatorname{Ind}_H^G W) \cong\operatorname{Hom}_H(\operatorname{Res}_H^G V,W).}

这里 $\operatorname{Hom}$ 表示交织算子组成的向量空间。左侧算子将每个 $v$ 送到一个等变函数；在单位元处取函数值，便得到右侧算子：

\Phi(T)(v)=T(v)(e).

它的逆映射有明确公式：对 $H$ 交织算子 $A:V\to W$ ，令

\Psi(A)(v)(x)=A(\rho_V(x)v).

采用特征标正交关系中第一变量线性的内积约定，定理还给出

\boxed{\langle\chi_{\operatorname{Ind} W},\chi_V\rangle_G =\langle\chi_W,\chi_{\operatorname{Res} V}\rangle_H.}

若 $V$ 不可约，左边就是 $V$ 在诱导表示中的重数。右边只需要 $H$ 上的函数值，其中 $\chi_{\operatorname{Res} V}(h)=\chi_V(h)$ 。

直觉

一个 $G$ 交织算子 $T:V\to I(W)$ 看起来要为每个 $v$ 指定一整张函数表。但 $G$ 等变性迫使表中各处互相联系。若知道 $A(v)=T(v)(e)$ ，则

T(v)(x)=(\rho_I(x)T(v))(e) =T(\rho_V(x)v)(e)=A(\rho_V(x)v).

所以单位元处的值已经决定整张表。唯一要检查的是：这个初始读数 $A$ 与 $H$ 的作用是否相容。若相容，先在 $V$ 中作用 $x$ 、再用 $A$ 读取，就自动产生诱导空间所要求的函数。

“互反”因而是一种可以逐项执行的转换：在大群中寻找通往诱导表示的交织算子，等价于先把源表示限制到小群，再寻找普通的 $H$ 交织算子。取两侧空间的维数，就把结构对应变成重数计算。

例子与边界

评价映射为什么落在正确的交织空间

设 $T$ 是 $G$ 交织算子， $h\in H$ 。由 $T$ 的等变性及函数空间条件，

\begin{aligned} \Phi(T)(\rho_V(h)v) &=T(\rho_V(h)v)(e)\\ &=(\rho_I(h)T(v))(e)\\ &=T(v)(h)\\ &=\rho_H(h)T(v)(e) =\rho_H(h)\Phi(T)(v). \end{aligned}

因此 $\Phi(T)$ 确实是 $H$ 交织算子。这里只在 $e$ 处评价，却保留了所有 $H$ 相容条件。

反过来，设 $A$ 为 $H$ 交织算子。先检查 $\Psi(A)(v)$ 属于 $I(W)$ ：

\Psi(A)(v)(hx) =A(\rho_V(h)\rho_V(x)v) =\rho_H(h)A(\rho_V(x)v).

再检查 $\Psi(A)$ 是 $G$ 交织算子。对 $g,x\in G$ ，

\begin{aligned} \Psi(A)(\rho_V(g)v)(x) &=A(\rho_V(xg)v)\\ &=\Psi(A)(v)(xg) =(\rho_I(g)\Psi(A)(v))(x). \end{aligned}

最后验证互逆。由于 $\rho_V(e)=I$ ，有 $\Phi(\Psi(A))(v)=A(v)$ ；另一方面，

\Psi(\Phi(T))(v)(x) =T(\rho_V(x)v)(e) =(\rho_I(x)T(v))(e)=T(v)(x).

两映射都是线性的，因此确实得到所陈述的线性同构。整个证明没有选择陪集代表，也没有先分解 $V$ 或 $W$ 。

这个对应还对两个表示变量自然。若 $u:V'\to V$ 与 $b:W\to W'$ 都交织，诱导态射 $I(b)$ 按函数值施加 $b$ ，则评价公式直接给出 $\Phi(I(b)Tu)=b\Phi(T)u$ 。因此本文的 Hom 同构正是伴随 $\operatorname{Res}_H^G\dashv\operatorname{Ind}_H^G$ ：限制是左伴随，这个等变函数模型是右伴随。该自然性与下面的重数等式承担不同作用。

从交织同构到特征标等式

正交关系中的交织空间公式为

\langle\chi_X,\chi_Y\rangle_G =\dim\operatorname{Hom}_G(Y,X).

分别取 $X=\operatorname{Ind}W,Y=V$ ，以及 $H$ 上的 $X=W,Y=\operatorname{Res}V$ ，互反同构便立即给出特征标等式。这解释了公式中两个变量的排列；它与本页的评价映射方向完全一致。

还可以只用诱导特征标公式直接证明。代入公式并交换有限求和，得到

\begin{aligned} \langle\chi_{\operatorname{Ind}W},\chi_V\rangle_G &=\frac1{|G||H|} \sum_{x\in G}\sum_{\substack{g\in G\\xgx^{-1}\in H}} \chi_W(xgx^{-1})\overline{\chi_V(g)}\\ &=\frac1{|G||H|} \sum_{x\in G}\sum_{h\in H} \chi_W(h)\overline{\chi_V(x^{-1}hx)}\\ &=\frac1{|H|}\sum_{h\in H} \chi_W(h)\overline{\chi_V(h)}. \end{aligned}

第二行对固定 $x$ 作换元 $h=xgx^{-1}$ ；第三行使用 $\chi_V$ 在 $G$ 的共轭类上常值。于是对 $x$ 的求和只是重复 $|G|$ 次，恰好消去分母中的 $|G|$ 。共轭仍然保留在第二个变量上。

在 C2 内算出 S3 诱导表示的分解

沿用诱导页的 $H=\{e,(12)\}$ 与 $W=\mathbb C_-$ ，其特征标为 $(1,-1)$ 。S3 的完整特征标表给出三个不可约表示 $\mathbf1,\mathrm{sgn},U$ 。只取表中单位元与换位两列，就得到它们在 $H$ 上的限制：

$V$	$\chi_{\operatorname{Res}V}(e)$	$\chi_{\operatorname{Res}V}((12))$	$\langle\chi_-,\chi_{\operatorname{Res}V}\rangle_H$
$\mathbf1$	$1$	$1$	$(1-1)/2=0$
$\mathrm{sgn}$	$1$	$-1$	$(1+1)/2=1$
$U$	$2$	$0$	$(2-0)/2=1$

因此

\operatorname{Ind}_{C_2}^{S_3}\mathbb C_- \cong\mathrm{sgn}\oplus U.

为什么二维 $U$ 在右侧只贡献一个交织方向？在标准实现 $U=\{x_1+x_2+x_3=0\}$ 中， $(12)$ 交换前两个坐标。向量 $(1,1,-2)$ 被固定， $(1,-1,0)$ 被变号，所以

\operatorname{Res}_{C_2}^{S_3}U\cong\mathbb C_+\oplus\mathbb C_-.

从这里映往 $\mathbb C_-$ 的交织算子必须消灭固定直线，在变号直线上则可任选一个标量，故空间维数为 $1$ 。

再回到 $S_3$ 检验。诱导页算出的特征标是 $(3,-1,0)$ ，按共轭类大小 $1,3,2$ 求三个内积：

m_{\mathbf1}=\frac{3-3}{6}=0,\qquad m_{\mathrm{sgn}}=\frac{3+3}{6}=1,\qquad m_U=\frac{6}{6}=1.

两种计算一致，分解后的维数也满足 $1+2=3=[S_3:C_2]\dim\mathbb C_-$ 。若改为诱导 $\mathbb C_+$ ，同样在 $H$ 上计算可得 $1,0,1$ ，即三点置换表示的分解 $\mathbf1\oplus U$ 。

使用范围与信息量

本页的重数解释在有限群、有限维复表示下成立，依靠的是完全可约性与复特征标正交关系。交织同构的具体构造不需要先调用完全可约性；将它变成不可约分解公式时，才使用这些结构定理。

限制通常会丢失信息：两个 $G$ 表示可能限制成同一个 $H$ 表示。因此互反不意味着 $\operatorname{Ind}\operatorname{Res}V\cong V$ 。仅比较维数便可见，当 $H$ 是真子群且 $V\ne0$ 时，前者维数为 $[G:H]\dim V$ ，严格大于后者。定理所对应的是指定的交织空间，并不是把两种表示操作宣称为彼此逆运算。

推论与应用

若 $V$ 是不可约 $G$ 表示， $W=\mathbb C$ 是平凡 $H$ 表示，则互反给出

\langle\chi_{\operatorname{Ind}\mathbf1},\chi_V\rangle_G =\frac1{|H|}\sum_{h\in H}\overline{\chi_V(h)}.

令 $P_H=|H|^{-1}\sum_{h\in H}\rho_V(h)$ 。左乘任意 $H$ 元素只会重排求和，故 $P_H$ 是投影到不动子空间 $V^H$ 的算子；其迹为 $\dim V^H$ 。上式是该迹的复共轭，而维数是实整数，所以重数恰为 $\dim V^H$ 。因此，陪集置换表示中出现哪些不可约成分，可以通过这些表示含有多少个 $H$ 不动方向来判断。

实际计算时，可以先列出候选不可约表示在子群上的限制，再在较小的 $H$ 中求内积。这样既能减少求和规模，也能把重数与具体的不动直线、变号直线等子空间联系起来。完成一次计算后，仍应将各重数乘以相应维数求和，核对诱导空间的 $[G:H]\dim W$ ；这能及时发现漏掉成分或误用类大小的错误。

参考资料

Pavel Etingof 等，Introduction to Representation Theory，2011-01-10 版，§4.10 Theorem 4.33 及证明，印刷页 56–57；§4.11 的 $S_3$ 子群诱导例，页 57。
Charles Rezk，Notes on Finite Group Representations，Fall 2020 课程、2022-05-13 稿，§27，印刷页 24–25，诱导类函数的互反恒等式。

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从交织同构到特征标等式 ​

在 C2 内算出 S3 诱导表示的分解 ​

使用范围与信息量 ​

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