算术基本定理

将合数不断拆成更小的正因子，最终会停在素数上，这解释了分解的存在性。要比较两条分解路径，还需要 Euclid 引理：素数若整除乘积，就整除其中某个因子。因此一条路径中的每个素因子，都能在另一条路径中找到对应项。

因此正整数的乘法可以用素指数坐标编码：相乘时同一素数的指数相加，不同素数的坐标互不混淆。这个坐标图像针对乘法；加法通常不能逐坐标进行，例如 $2+3=5$ 会出现新的素数。

$360=2^3\cdot 3^2\cdot 5$。从 $36\cdot 10=(2^2\cdot 3^2)(2\cdot 5)$ 或 $8\cdot 45=2^3(3^2\cdot 5)$ 开始，最后都得到三个 $2$、两个 $3$ 和一个 $5$。中间分组不同，记录各素数出现次数的结果相同。

$1$ 对应所有指数为零，即空乘积，不能把它列为素数，否则任意插入 $1$ 都会改变因子个数。$0$ 不在定理范围内：所有素数的任意次幂都整除零，无法用有限非负指数族表示。负数的符号也必须从正素因子中独立提出。

整数的这项性质推广为唯一分解整环公理库唯一分解整环Unique factorization domain · UFD每个非零非单位元素都能唯一地分解为不可约元乘积的整环。。有些整环则会失去唯一性：在 $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 中，$6=2\cdot 3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$ 给出两种无法按相伴元配对的不可约分解。范数 $N(a+b\sqrt{-5})=a^2+5b^2$ 可验证四个因子都不可约，并区分两边的因子；详细计算见唯一分解整环条目。

存在与唯一分别如何证明 ​

存在性使用强归纳法公理库强归纳法Strong induction · Complete induction归纳步可假设所有较小自然数情形成立。：若 $n$ 素则完成；若 $n=ab$ 且 $1<a,b<n$，归纳假设给出 $a,b$ 的素数分解，把它们连接即可。因子严格变小是归纳能继续的原因。

唯一性先用 Euclid 引理。若素数 $p\mid ab$ 而 $p\nmid a$，则最大公因数公理库最大公约数Greatest common divisor · GCD同时整除两个整数且被所有公约数整除的非负整数。 $gcd(p,a)=1$，存在整数 $u,v$ 使 $up+va=1$；乘 $b$ 后得 $b=upb+vab$，两项都被 $p$ 整除，故 $p\mid b$。反复使用此引理，从 $p_1\cdots p_r=q_1\cdots q_s$ 得到 $p_1\mid q_j$，因此 $p_1=q_j$。重排并消去这个非零因子，再对剩余因子重复，就得到相同长度和相同因子。

素指数把哪些运算化简 ​

对正整数 $a,b$，整除公理库整除Divisibility存在整数倍关系时定义的二元关系。 $a\mid b$ 当且仅当所有 $p$ 都满足 $v_p(a)\le v_p(b)$。于是最大公因数取逐坐标最小值，最小公倍数取最大值。以 $360=2^3{3}^{2}5$ 和 $84=2^{2}3\cdot 7$ 为例，得到 $gcd(360,84)=12$、$\mathrm{lcm}(360,84)=2520$，且二者乘积为 $360\cdot 84$。

约数个数也可直接计算：$360$ 的正约数为 $2^a{3}^b{5}^c$，其中 $0\le a\le 3$、$0\le b\le 2$、$0\le c\le 1$，所以共 $(3+1)(2+1)(1+1)=24$ 个。每组指数对应一个约数，唯一分解保证不同指数选择不会重复计数。

唯一分解也能组织一个收敛的无穷和。Riemann ζ 函数公理库Riemann ζ 函数与 Euler 乘积Riemann zeta function · Euler product for zeta · 黎曼 ζ 函数在实部大于一的半平面定义 ζ 函数，从唯一分解严格推出 Euler 乘积与非零性，再以有界素数幂余项证明素数倒数和发散。先对有限个素数展开几何级数，每个整数的素指数只出现一次，再用绝对收敛控制遗漏项，从而得到 Euler 乘积。取对数并统一控制高次素数幂后，还能证明素数倒数和发散。