指数等价

仅依概率接近，允许误差事件以 $1/n$ 消失；可原本关心的事件可能只有 $e^{-n}$ 大，近似误差反而完全覆盖了它。指数等价要求任意固定容差的失败概率比每个有限指数成本都更小，因此不会在原有大偏差尺度上制造新的实现路线。

对非空闭集 $F$，设 $F^{\delta }=\{x:d(x,F)\le \delta \}$，有

第二项超指数小，第一项使用原 LDP 上界。令 $\delta \downarrow 0$ 时，良速率的紧性保证 $\underset{F^{\delta }}{inf}I\to \underset{F}{inf}I$。下界则在输出开集内部选一个带正距离余量的小球，减去误差事件，再使用原 LDP 下界。紧性与开集余量分别防止最优点逃逸和边界误差。

令 $X_n$ 为任意已知具有 LDP 的实值随机量，设 $Y_n=X_n+r_n$，其中确定误差 $|r_n|\le 1/n$。对每个固定 $\delta >0$，充分大的 $n$ 后误差概率恰为零，所以两者在任何速度下指数等价。这个例子常用于去掉取整误差，而不需要估计额外随机尾部。

更一般地，若误差以概率至多 $e^{-n^2}$ 超过每个固定容差，则在速度 $n$ 下指数等价，因为 $n^{-1}\log e^{-n^2}=-n\to -\mathrm{\infty }$。但在速度 $n^2$ 下，这个界只有成本 $1$，尚不足以证明指数等价。定义始终与速度绑定。

普通概率收敛不足的反例很直接：取 $X_n\equiv 0$，$Y_n=1$ 的概率为 $e^{-n}$，其余为零。二者之差依概率趋零，但速度 $n$ 下 $X_n$ 的速率在 $1$ 为无穷，而 $Y_n$ 在 $1$ 的速率为 $1$。误差事件本身成为新的一条有限成本路线。

“指数等价”也不意味着二者有限样本分布相同，或期望差小。极罕见却极大的数值仍可能改变无界函数的期望。结论只保留指定拓扑和速度下的 LDP。

路径大偏差常先对网格上的分段线性近似证明有限维结论，再控制路径与插值之间的最大误差。若需要网格逐渐加密，通常使用两重极限的“指数好逼近”，它比本页的一对序列版本多一个逼近参数。Schilder 定理公理库Schilder 定理Schilder theorem在一致路径拓扑下，以平方速度能量刻画小噪声 Brownian 路径的大偏差成本。正体现了这种从有限网格到整条路径的证明思路。