有限Blaschke乘积与圆盘真映射

一个圆盘自同构只能把一个内部点送到零。如果希望零点有两个、三个，甚至重复出现，还能保住整个圆盘上的模界吗？答案是把圆盘自同构逐点相乘。这一步失去了单射性，却换来一份准确的有限重数：每个圆盘内目标都有同样多的原像，计入重数。

形式陈述

记 $\mathbb D=\{z:|z|<1\}$ 、 $\mathbb T=\{z:|z|=1\}$ 。给定 $N\ge1$ 个圆盘内点 $a_1,\ldots,a_N$ ，允许重复，以及 $|\eta|=1$ ，定义

B(z)=\eta\prod_{j=1}^N\phi_{a_j}(z), \qquad \phi_a(z)=\frac{z-a}{1-\overline a z}. \tag{1}

这就是次数为 $N$ 的有限Blaschke乘积。本页一直使用分子 $z-a$ 的约定；另一些资料用 $a-z$ 或再乘归一化相位，差别都可并入 $\eta$ 。 $a_j=0$ 时因子就是 $z$ ，不能在这个位置套含 $|a_j|/a_j$ 的写法。

每个分母在闭圆盘上非零，所以 $B$ 在闭圆盘的一个开邻域上全纯，并满足

|B(z)|<1\quad(z\in\mathbb D),\qquad |B(\zeta)|=1\quad(\zeta\in\mathbb T). \tag{2}

圆盘内的零点恰为所列多重集。分子零点在圆内，非恒定分母的零点为 $1/\overline{a_j}$ ，在圆外，故分子、分母无公共根；既约有理函数的次数确为 $N$ 。零因子使分母次数降低，并不降低分子次数。

从有限表到全域分类

连续映射 $f:\mathbb D\to\mathbb D$ 称为真映射（proper map），若每个紧集 $K\subset\mathbb D$ 的原像 $f^{-1}(K)$ 都是圆盘内的紧集。这不是“真子集”的真；条件限制的是靠近源边界的点不能继续落在目标的一个固定内部紧集里。

对全纯 $f:\mathbb D\to\mathbb D$ ，以下两者等价：

$f$ 是真映射
$f$ 是式(1)中某个 $N\ge1$ 的有限Blaschke乘积

对这样的 $B$ ，任意 $w\in\mathbb D$ 的方程 $B(z)=w$ 在圆盘内恰有 $N$ 个解，按重数计。对 $w\in\mathbb T$ ，圆周上则有恰好 $N$ 个不同解。内部允许临界点，不能把第一句改成总有 $N$ 个不同位置。

有界插值中也常把单位常数称为次数零的Blaschke乘积。它属于满足 $|f|\le1$ 的Schur类，但不把开圆盘送进开圆盘，因此不属于这里的真自映射分类。常值 $|c|<1$ 虽是圆盘自映射，也不真：紧集 $\{c\}$ 的原像是整个非紧圆盘。

直觉

圆盘Möbius因子的恒等式为

1-|\phi_a(z)|^2 =\frac{(1-|a|^2)(1-|z|^2)}{|1-\overline a z|^2}. \tag{3}

它在圆内严格为正，在圆周为零。有限个模小于一的值相乘仍小于一；有限个单位复数相乘仍在单位圆上。因此指定零点和保留边界模一没有冲突。

但乘法不是复合。 $z\phi_a(z)$ 同时在 $0,a$ 为零，通常不是一一映射； $\phi_a\circ\phi_b$ 仍是圆盘自同构，只有一个零点。输入同一个 $z$ 后把两个输出相乘，与把一个输出再次送入另一个函数，是两项不同操作。

为什么每个内部目标都数到同一个整数

固定 $|w|<1$ 。在整个单位圆上， $|w|<|B|=1$ 。Rouché定理因此使 $B-w$ 与 $B$ 有相同的内部零点总重数，即 $N$ 。所有分母在闭圆盘邻域全纯无零，完全符合定理条件。我们不需要先近似求出这 $N$ 个解。

这也同时证明满射：每个内部目标至少有一个原像。另一方面，式(2)及闭圆盘连续性给出 $|B(z)|\to1$ 当 $|z|\to1$ ，且这一趋近对方向一致。若 $K\subset\mathbb D$ 紧，则存在 $r<1$ 使 $|w|\le r$ 对所有 $w\in K$ 成立。边界附近的点不可能映入 $K$ ，所以 $B^{-1}(K)$ 闭且包含在某个严格较小的闭圆盘内，从而紧。有限乘积确是真映射。

例子与边界

二次例：双圈不等于两个不同原像

取

B(z)=z\frac{z-1/2}{1-z/2} =\frac{2z^2-z}{2-z}. \tag{4}

它在 $0,1/2$ 有两个简单零点，在2有一个极点，极点位于圆外。对目标 $w$ ，方程可写为

z^2+\frac{w-1}{2}z-w=0. \tag{5}

任意 $|w|<1$ 的两个根都在圆盘内，计入重数；这项结论由刚才的整圆比较提供，而不是由画出的几组根支持。

导数为

B'(z)=\frac{2z-1/2-z^2/2}{(1-z/2)^2}.

内部临界点是 $c=2-\sqrt3$ 。由 $c^2-4c+1=0$ 可核 $\phi_{1/2}(c)=-c$ ，所以 $B(c)=-c^2$ 。取 $w=-c^2$ ，式(5)恰有一个二重根 $c$ ；两个原像的总重数仍为二，却只有一个位置。这是“次数”不能省去重数的具体原因。

在圆周上， $B(1)=B(-1)=1$ ，而 $B(i)=(-3-4i)/5$ 。按参数从1绕源圆一周，像圆绕两周；同一目标1在圆周上有1与−1两个不同原像，圆周上没有临界退化。

二次Blaschke乘积的两个内部零点，以及边界连续相位从零增加到四π；相位速度在零角为4，在π角为4/3，始终严格为正。 — 有限零点、边界相位和次数

几乎处处的边界模一还不够

考虑

S(z)=\exp\!\left(-\frac{1+z}{1-z}\right). \tag{6}

因为 $\operatorname{Re}\!\left(\frac{1+z}{1-z}\right)=(1-|z|^2)/|1-z|^2>0$ ，它全纯、无零，且 $|S|<1$ 。对每个 $\zeta\in\mathbb T\setminus\{1\}$ ，径向极限的模为一；但沿实数 $r\uparrow1$ ，有 $S(r)\to0$ 。例如充分靠近1的整列 $r$ 都映入紧圆盘 $\{|w|\le1/2\}$ ，这些原像在源圆盘没有收敛子列。因此 $S$ 不真，也不可能是有限Blaschke乘积。

反例没有否定式(2)的有限乘积结论。它说明必须区分“几乎每个固定方向有边界模一”与“对所有接近边界的方式，模一致趋于一”。只测有限条半径也无法补出这项一致性。

圆周零点不能混入参数表

若错误取 $a=1$ ， $(z-1)/(1-z)$ 在圆内恒为−1，所谓零点与极点消去了。式(3)的严格正因子也变成零。此时把一个形式因子记作一次，会错误地增加次数。若 $|a|>1$ ，分母的零点则进入圆盘，函数甚至不再是圆盘内全纯映射。参数表的 $|a_j|<1$ 必须先核。

推论与应用

真映射反向给出有限零点表

设 $f:\mathbb D\to\mathbb D$ 全纯且真。先证明

|f(z)|\longrightarrow1\quad\text{当 }|z|\longrightarrow1. \tag{7}

若不成立，就有 $r<1$ 和一列 $|z_n|\to1$ ，使 $|f(z_n)|\le r$ 。目标闭圆盘紧，真性要求其原像紧，但该原像中的 $z_n$ 不可能有圆盘内收敛子列，矛盾。

$f$ 不可能常数。它的零点原像是紧集，又由全纯非恒定函数的局部幂级数而孤立，所以零点连重数只有有限个。暂时允许这张表为空，取由该表组成的乘积 $B_0$ ；空表时 $B_0=1$ 。商 $g=f/B_0$ 在零点按准确重数可去，且处处无零；因此 $g$ 与 $1/g$ 都全纯。式(7)及有限乘积的边界性质使二者的模都一致趋于一。

固定一个内部点，在越来越大的圆上应用Schwarz–Pick页证明的最大模机制，得到 $|g|\le1$ 及 $|1/g|\le1$ 。因此 $|g|=1$ ，最大模刚性迫使 $g\equiv\eta$ 、 $|\eta|=1$ 。若零表为空，就会得到 $f\equiv\eta$ ，与 $f(\mathbb D)\subset\mathbb D$ 矛盾。因此 $N\ge1$ ，并得到式(1)。这个证明没有事先假定 $f$ 能连续延伸到圆周；延伸是有限乘积表示带来的结论。

相位速度为什么总为正

沿圆周写 $B(e^{it})=e^{i\beta(t)}$ ，选一条连续的实相位，而非每次跳回 $(-\pi,\pi]$ 的主辐角。对数求导得

\beta'(t)=\frac{e^{it}B'(e^{it})}{B(e^{it})} =\sum_{j=1}^N\frac{1-|a_j|^2}{|e^{it}-a_j|^2}>0. \tag{8}

这里右侧为实正数，是每个因子的恒等式逐项相加。若 $a_j=r_j e^{i\theta_j}$ ，该项就是圆盘Poisson核 $P_{r_j}(t-\theta_j)$ ；其在一周的积分为 $2\pi$ 。于是

\beta(t+2\pi)-\beta(t)=2\pi N. \tag{9}

严格单调和准确相位增加使每个圆周目标在半开参数区间内恰被遇到 $N$ 次，且 $B'\ne0$ ，所以圆周原像都简单。式(4)在 $t=0$ 的速度为 $1+3=4$ ，在 $t=\pi$ 为 $1+1/3=4/3$ 。相位转得不匀，次数仍是二。

相乘的次数相加，复合的次数相乘

两个有限乘积逐点相乘，其零点多重集连接在一起，因此次数相加。复合时，先看外层的每个零点；内层对它都有内层次数那么多的原像，重数相乘后相加，所以次数相乘。也可将外层每个因子与内层复合：这仍在闭圆盘邻域全纯、边界模一，刚才的分类和内部原像计数给出相同结论。

特别地，用圆盘自同构在输入或输出端复合不改变次数。这个事实将在有限Pick插值和有限Taylor系数插值中追踪唯一解的准确次数：一次非退化降阶逆操作先乘一个一次因子，再作输出自同构，次数恰加一。它比只报告一份有理公式的表面分子次数更可靠。

参考资料

Stephan Ramon Garcia、Javad Mashreghi、William T. Ross，Finite Blaschke products: a survey，2015年公开稿，§3的Theorem3.6、Lemma3.11及Theorem3.12，§4的Theorem4.1与Corollary4.2，§7式(7.2)–(7.4)、Lemma7.5与Corollary7.6。本文沿旧Möbius页的 $z-a$ 相位约定，展开真性、重数和全方向边界条件的证明。
例子、准确复算和不合法输入的拒绝见有界圆盘插值终点。

形式陈述 ​

从有限表到全域分类 ​

为什么每个内部目标都数到同一个整数 ​

二次例：双圈不等于两个不同原像 ​

几乎处处的边界模一还不够 ​

圆周零点不能混入参数表 ​

真映射反向给出有限零点表 ​

相位速度为什么总为正 ​

相乘的次数相加，复合的次数相乘 ​

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