有限 Ising 模型 | Codeboy's Blog

一组二值变量可以各有自己的偏好，也可以倾向与邻居一致。Ising模型把这两种作用写进同一份联合概率。局部规则很短，完整分布却包含所有自旋的共同变化；是否有回路、是否带外场，会改变能否把计算拆开。

形式陈述

图、参数与联合概率

给定非空有限简单无向图 $G=(V,E)$ ， $n=|V|\ge1$ 。状态是 $\sigma\in\{-1,+1\}^V$ ，每个 $\sigma_i$ 称为自旋。每条无向边只计一次，给它实参数 $J_{ij}=J_{ji}$ ；每个顶点给实外场 $h_i$ 。所有参数均有限。定义联合分布

\pi(\sigma)=\frac1Z\exp\left\{ \sum_{\{i,j\}\in E}J_{ij}\sigma_i\sigma_j+ \sum_{i\in V}h_i\sigma_i\right\}, \qquad Z=\sum_{\tau\in\{-1,+1\}^V} \exp\left\{\sum_{\{i,j\}\in E}J_{ij}\tau_i\tau_j+\sum_i h_i\tau_i\right\}. \tag{1}

有限个严格正的项保证 $0<Z<\infty$ 且每个状态都有正概率。 $Z$ 称为分配函数。 $J_{ij}>0$ 偏好相邻相同， $J_{ij}<0$ 偏好相反；全部 $J_{ij}\ge0$ 的子类称为铁磁模型。正 $h_i$ 偏好 $+1$ 。

物理写法常为 $\pi\propto e^{-\beta H}$ ，其中 $H=-\sum K_{ij}\sigma_i\sigma_j-\sum B_i\sigma_i$ ， $\beta\ge0$ 为逆温度。本页把 $\beta$ 吸收到 $J_{ij}=\beta K_{ij}$ 与 $h_i=\beta B_i$ ；不要在条件概率里再乘一次 $\beta$ 。无限参数或零温极限不属于式(1)的严格正支持假设。

全条件与精确有理权重

固定除 $i$ 外的自旋，只保留式(1)中含 $\sigma_i$ 的项。令局部场

a_i(\sigma)=h_i+\sum_{j:\{i,j\}\in E}J_{ij}\sigma_j.

用离散条件分布的比值，分配函数与其他项消去，得到

p_i(\sigma):=\Pr_\pi(\sigma_i=+1\mid\sigma_{-i}) =\frac{e^{a_i}}{e^{a_i}+e^{-a_i}} =\frac1{1+e^{-2a_i}}. \tag{2}

它只依赖邻居，且严格位于 $(0,1)$ 。这是给定其他坐标后的局部性质，不表示不相邻自旋在边缘分布下独立。

小例子可以完全避免浮点指数。设 $r_{ij}=e^{2J_{ij}}>0$ 、 $s_i=e^{2h_i}>0$ ，则另一份未归一化权重是

W(\sigma)=\prod_{\{i,j\}\in E}r_{ij}^{\mathbf1\{\sigma_i=\sigma_j\}} \prod_i s_i^{\mathbf1\{\sigma_i=+1\}}. \tag{3}

由 $\sigma_i\sigma_j=2\mathbf1\{\sigma_i=\sigma_j\}-1$ 可知， $W$ 与式(1)的指数权重只差一个与状态无关的正常数。因此 $\pi=W/\widetilde Z$ ，其中 $\widetilde Z=\sum_\sigma W(\sigma)$ ；一般 $\widetilde Z\ne Z$ 。若输入 $r,s$ 为正有理数，所有状态概率与条件概率都是有理数。

直觉

从局部偏好到完整依赖

改变一个自旋，只会改变它的外场项和相邻边项，所以局部条件容易计算。归一化整个联合分布时，却要汇总 $2^n$ 种状态。局部更新容易与全局求和困难可以同时发生。

外场偏好一个方向，相邻边偏好一种相对关系。若三角形的三条边都强烈偏好相反，自旋不能同时满足三条边：三个边乘积的乘积恒为1，而三个负号的乘积是 $-1$ 。这类不相容偏好称为受挫；它没有使模型无效，只会改变概率质量如何分配。

为什么热浴更新保持目标

实际使用随机扫描Gibbs更新：先按固定 $q_i>0$ 、 $\sum_iq_i=1$ 选坐标 $i$ ，再以概率 $p_i(\sigma)$ 把该自旋设为 $+1$ ，否则设为 $-1$ 。这也称单点热浴更新或一种常用的Glauber动力学约定。一次更新只改一个坐标，不是所有坐标同时按旧状态独立重抽。

若 $\sigma,\tau$ 只在 $i$ 不同，写共同其余坐标为 $z$ 。细致平衡可逐项验证：

\pi(\sigma)P(\sigma,\tau) =q_i\,\pi_{-i}(z)\pi_i(\sigma_i\mid z)\pi_i(\tau_i\mid z) =\pi(\tau)P(\tau,\sigma).

差异超过一个坐标时两边都为零，自环时等式也成立。因此 $\pi$ 不变。任意指定坐标序列及其指定新自旋都有正概率，最多 $n$ 次更新便可从任意状态到达另一状态；保持当前位置同样有正概率。这个有限链不可约且非周期，但混合速度仍需另证。

式(2)直接求值需 $O(1+\deg(i))$ 算术工作。若维护全部局部场，自旋翻转后只更新邻居的缓存，也需 $O(1+\deg(i))$ 工作；图与状态存储为 $O(n+|E|)$ 。这些是算术操作数，不包括高精度指数或随机位生成的位成本。

例子与边界

三点开链：局部边不代表边缘独立

取路径 $1-2-3$ ，无外场，两条边的 $r=e^{2J}=3$ 。式(3)中，三个自旋全相同的两种状态各重9；恰有一条相同边的四种状态各重3；两条边都不同的两种状态各重1。于是

\widetilde Z=2\cdot9+4\cdot3+2\cdot1=32, \qquad \Pr(\sigma_1=\sigma_2=\sigma_3)=\frac9{16}. \tag{4}

给定两端，中心取 $+1$ 的概率分别是 $9/10$ （两端均正）、 $1/2$ （两端相反）、 $1/10$ （两端均负）。端点只见一个邻居：邻居为正时取正的概率为 $3/4$ 。

后面的树分解给 $E\sigma_1\sigma_3=1/4$ 。两端各自对称、均值为零，却有非零相关；图上没有直接边不等于边缘独立。固定中心以后，两端的条件分布才分解。

顺序更新与同步更新不同

只取两个相互作用的自旋， $r=3,h=0$ 。平稳时 $E\sigma_1\sigma_2=1/2$ ，且 $E(\sigma_1'\mid\sigma_2)=\sigma_2/2$ 。若错误地让两个新自旋都条件于旧状态，并在给定旧状态后独立生成，得到

E(\sigma_1'\sigma_2') =\frac14 E(\sigma_1\sigma_2)=\frac18.

目标相关从 $1/2$ 变成 $1/8$ ，所以这种同步核不保持原目标。它并非随机扫描，也不是依次使用新坐标的系统扫描。

参数边界需要重写合同

若所有 $J=0$ ，式(1)分解成独立自旋， $\Pr(\sigma_i=+1)=1/(1+e^{-2h_i})$ 。若图只有一个顶点，同样只剩这一项；孤立点必须保留，不能从边表中删掉。

对于一条正相互作用边，令 $J\to\infty$ 而 $h=0$ ，极限分布在 $++$ 、 $--$ 各放一半。极限单点热浴从任一这两个状态都不能离开。每个有限 $J$ 的核不可约，并不表示极限核仍不可约。有限参数的正支持论证不能跨过这个极限。

负 $J$ 仍定义正规联合分布，但同一均匀数驱动的坐标更新一般不保持逐坐标次序。例如 $e^{2J}=1/3$ 时，邻居由负变正会使该点取正的概率从 $3/4$ 降到 $1/4$ 。后续单调耦合快捷法必须另查 $J\ge0$ ，不能只查概率是否存在。

推论与应用

无外场树的精确分解

现在令 $G$ 为一棵树， $h_i=0$ ，选根 $o$ 。对每条边 $e=\{i,j\}$ 定义 $T_e=\sigma_i\sigma_j$ 。给定根自旋和所有 $T_e$ ，沿树唯一路径逐步恢复每个 $\sigma_i$ ；反过来，自旋配置也确定这些量。因此

\sigma\longleftrightarrow(\sigma_o,(T_e)_{e\in E})

是双射。指数权重变成 $\prod_e e^{J_eT_e}$ ，根符号没有出现在其中。对全部新坐标求和，

Z=2\prod_{e\in E}2\cosh J_e, \qquad \Pr(T_e=t)=\frac{e^{J_et}}{2\cosh J_e}. \tag{5}

根公平，全部边变量彼此独立，且 $ET_e=\tanh J_e$ 。对任意两点 $u,v$ ，树路径上的乘积中内部自旋各出现两次，故

E(\sigma_u\sigma_v) =\prod_{e\in\operatorname{path}(u,v)}\tanh J_e. \tag{6}

在式(4)中 $\tanh J=(r-1)/(r+1)=1/2$ ，两端相关就是 $1/4$ 。这还给一份无需烧入的直接抽样：先抽公平根，再独立抽每条边变量，沿树恢复自旋，总共 $O(n)$ 次局部操作。非零外场会在新坐标中引入路径乘积，不能继续宣称这些边变量独立。

回路与抽样证书

一般图每个回路都有 $\prod_{e\in\text{回路}}T_e=1$ ，边变量不再能任意独立取值。树公式不能在增加一条边后原样保留。逐状态枚举式(3)可给小模型的独立真值：直接实现需 $O((n+|E|)2^n)$ 次算术操作；流式求分配函数只需保存当前状态和累加器，完整概率表则需 $O(2^n)$ 存储。

较大图可继续使用局部条件。Dobrushin影响矩阵量化改变一个邻居会怎样改变当前条件律；路径耦合把少数邻点检查扩展成全初态混合界。铁磁情形还可用从过去耦合，在固定终时检测所有初态是否合并。有限步近似误差、精确平稳输出和一条长轨迹平均分别有不同的证明任务。

参考资料

David A. Levin、Yuval Peres，Markov Chains and Mixing Times，第2版，2017，作者公开PDF，§3.3.5，印刷pp.44–45；Chapter15，pp.215–217；Chapter25，pp.349–351。模型、条件热浴与单调耦合。
James G. Propp、David B. Wilson，Exact Sampling with Coupled Markov Chains and Applications to Statistical Mechanics，1996，§3.1与§4.1；铁磁局部更新和全状态耦合的应用背景。本文树分解和有限有理算例在正文直接证明。

形式陈述 ​

图、参数与联合概率 ​

全条件与精确有理权重 ​

从局部偏好到完整依赖 ​

为什么热浴更新保持目标 ​

三点开链：局部边不代表边缘独立 ​

顺序更新与同步更新不同 ​

参数边界需要重写合同 ​

无外场树的精确分解 ​

回路与抽样证书 ​

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