可表示拟阵

可表示拟阵只保留一组向量“哪些子集线性无关”的骨架，忘掉坐标值和依赖关系中的具体系数。它把线性无关理路线性无关Linear independence只有全零系数能产生零向量的向量组。的交换性质带入纯组合环境，同时允许不同向量配置在丢弃坐标后成为同一个拟阵。

域是表示数据的一部分。线性方程中的加法与标量会随域的特征变化，同一组组合依赖可能在一个域中实现、在另一个域中不可能实现。因此“可表示”不能在讨论特定表示性质时省略底域。

给无自环图的边任取方向，以顶点–边有向关联矩阵的列标记边；每列在边的起点为 $-1$、终点为 $1$，其余为 $0$。删去每个连通分量的一行后，该矩阵在任意域上表示图拟阵：一组列线性无关，当且仅当对应边集不含圈。因此图拟阵理路图拟阵Graphic matroid以图边为底集、以无环边集为独立集的拟阵。是可在每个域上表示的 regular matroid。

Fano 拟阵可由 ${\mathbb{F}}_2^3$ 中七个非零向量作为列表示。每条“直线”上的三列满足 $u+v+w=0$，形成三元素回路。它可在且只能在特征 $2$ 的域上表示；若把同一组合依赖强行放到特征不为 $2$ 的域，相关关系会彼此冲突。这是底域不可省略的标准边界。

并非每个拟阵都可表示，Vámos 拟阵就是不能在任何域上表示的例子。即使一个拟阵可表示，不同表示也可能不具有投影等价性；“行变换和列缩放保持拟阵”是充分的不变操作，不是表示唯一性定理。

矩阵表示把拟阵秩变成列秩，把闭包变成线性张成内的已标号列，把回路变成极小线性相关列集。于是秩与闭包理路拟阵的秩与闭包Matroid rank · Matroid closure · Matroid flat证明有限拟阵秩的子模性及秩公理的逆向重建，由此推出闭包交换，并用同一个四列矩阵计算秩、平坦与依赖证书。、回路理路拟阵回路Matroid circuit · Circuit of a matroid拟阵中按包含关系极小的依赖集，是独立性首次失效的局部证书。都可用线性代数计算，同时仍保留图拟阵等组合例子的统一语言。

可表示性还连接编码理论，但必须区分矩阵约定。对有限域上的非零线性码 $C=\ker H$，校验矩阵 $H$ 的最小相关列集大小等于 $C$ 的最小汉明距离：非零码字正是列之间的非平凡关系，其最小支撑必为回路。若 $C=\{0\}$，则没有这种非零码字，也没有回路；不能无约定地取一个空集合的最小值。

若 $G$ 的行生成 $C$，则 $\ker G=C^{\perp }$，所以 $G$ 的回路给出的是非零对偶码 $C^{\perp }$ 的最小距离；原码的距离对应生成矩阵拟阵的余回路。例如二元重复码 $C=\{000,111\}$ 的距离是 $3$，但生成矩阵 $G=(1,1,1)$ 的最小相关列集只有两列。列依赖的完整拟阵仍然决定原码距离，只是须通过对偶来读出。

对表示矩阵的删列对应拟阵删除，对非 loop 元素的收缩可由基变换后删除相应行列实现。底域特征限制则把组合禁形与线性表示理论联系起来。

对偶的核矩阵证明理路拟阵对偶Matroid duality从秩公理证明基的补集确实定义对偶拟阵，推导对偶秩公式，并以四列矩阵及其正交核给出所有子集上的可复算证书。令 $B$ 的行构成满行秩矩阵 $A$ 的核的一组基，再对任意标号集 $X$ 作坐标投影，得到 $r_B(X)=|X|-r_A(E)+r_A(E\setminus X)$。因此 $B$ 在同一域上表示原拟阵的对偶。四列例子同时列出两个实际矩阵及全部基，证明只用线性代数的秩—零度公式，不把“行变换保持拟阵”误当作表示唯一性。