加法原理

把一批对象装进若干互不重叠的盒子，盒子不必一样大。若第 $i$ 盒有 $n_i$ 个对象，先按盒号、再按盒内编号依次排开，所有对象就获得 $1$ 到 $n_1+\cdots +n_m$ 的连续编号。这给出了公式背后的无遗漏、无重复对应。

这里的“或”指选择一个属于并集的对象，不是先选类别再选对象。如果把类别标签也保留在结果中，同一对象带不同标签就成了不同结果；这时数的是带标签的不交并，已经换了计数对象。

分类标准必须描述最终结果，而不能只是描述“找到结果的方式”。同一本书可能同时出现在作者检索与题名检索中；两种检索方式不同，并不使结果集互斥。计数树中一个节点下面的分支，只有在它们代表不同结果类时才可直接相加。

一个字符只能是大写英文字母或十进制数字时，两类互斥，总数为 $26+10=36$。一副不含大小王的牌中，红桃与黑桃也不交，选其中一张有 $13+13=26$ 种。

“红牌或 A”则不能直接算 $26+4$：红桃 A 与方块 A 各出现两次。可把目标重分为“红牌”和“黑色 A”，得到 $26+2=28$。等价地，从原来的和中扣除两张交集牌，即 $26+4-2=28$；这就是容斥原理理路容斥原理Inclusion–exclusion principle · PIE通过交集的交替和修正多个有限集合并集的重复计数。的两集合情形。

分类还可把一个问题分解为更小的同类问题。用长度为 $1$ 或 $2$ 的瓷砖铺满长度 $n$ 的直条，设铺法数为 $a_n$。对 $n\ge 2$，首块只能长 $1$ 或长 $2$，这两类不交且覆盖所有铺法；删去首块后分别剩下长度 $n-1$、$n-2$ 的铺法，故 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$。这个删首块的操作可以逆转：给较短直条的任一铺法添回指定首块，就恢复且只恢复原来那一类铺法，因此两类大小确实分别为 $a_{n-1}$ 与 $a_{n-2}$。

初值 $a_0=a_1=1$ 给出 $a_2=2,a_3=3,a_4=5$，其中空直条的一种铺法是“不放砖”。长度 $4$ 的五种铺法可直接写成 $1111,112,121,211,22$；按首块分类，前三种在首块为 $1$ 的类中，后两种在首块为 $2$ 的类中。

乘法原理理路乘法原理Product rule · Multiplication principle分阶段且每阶段选择数固定时，总数等于各阶段选择数之积。可视为等大分支的反复相加；大小不等的分支则保留求和。两者配合，决定计数树每一层究竟相加还是相乘。

按首块、末位或某个唯一参数划分类别，常能导出递推关系理路递推关系Recurrence relation用先前项规定序列当前项的关系。。若每个对象带权，逐类求和也可计算总权重；全概率公式理路全概率公式Law of total probability沿有限或可数可测划分分解事件，并按各分块概率加权合并。沿用互斥覆盖的分解，再用条件概率求每块的概率质量。