共同随机数

独立比较时，A可能碰上轻松的一轮，B却碰上困难的一轮，差值于是混入两份环境噪声。共同随机数尽量让两个方案经历相对应的同一轮环境，先做差，再平均。差值的波动可以很小，即使两个方案输出各自都很分散。

“共同”应定义在随机事件的意义上。排队系统里，第十个顾客的服务需求应在两个方案间对应；不能只说两个程序使用同一整数种子。如果一个方案多执行了一次拒绝采样，顺序读取的随机数就可能错位。错位后边缘模拟仍可能正确，但期待的相关性已经没有依据。

两个阈值响应的精确比较 ​

令 $U\sim \mathrm{Uniform}(0,1)$，$Y_A=\mathbf{1}\{U\le 3/5\}$，$Y_B=\mathbf{1}\{U\le 2/5\}$。目标差为 $1/5$，两个边缘方差都为 $6/25$。独立运行各 $m$ 次的差值方差为 $12/(25m)$。

共同输入下，$Y_A-Y_B$ 只在 $2/5<U\le 3/5$ 时为1，其余为0，故 $D\sim \mathrm{Bernoulli}(1/5)$，

同样的 $2m$ 次求值得到三倍方差改善。也可从 $E(Y_A{Y}_B)=2/5$ 算出 $c=2/5-6/25=4/25$，代入通式得到相同答案。两种计算分别检查差值分布与协方差账本。

若输入为 $(1/10,3/10,1/2,7/10,9/10)$，则A输出为 $(1,1,1,0,0)$，B为 $(1,1,0,0,0)$。五个差值为 $(0,0,1,0,0)$，估计恰为 $1/5$，差值样本方差为 $1/5$，估计方差为 $1/25$。这次估计碰巧准确，并不让它的真实随机方差变成零；理论值仍是 $4/125$。

同一种子也可能让差值更差 ​

令A输出 $g_A(U)=U$，B输出 $g_B(U)=1-U$。两者边缘都是均匀分布，真实均值差为0。共同输入给出 $D=2U-1$，方差为 $1/3$；独立输入给出的差值方差则为 $1/12+1/12=1/6$。因此CRN把均值差的方差加倍。

这不是模拟边缘错误，而是选了负相关的耦合来做相减。B也可以通过另一个边缘等价实现 $g_B(U)=U$ 生成，此时配对差恒为零。相同的两个边缘分布，联合构造不同，效率可以完全不同；记录两端各自的种子不足以描述这个选择。

有限差分：减少噪声仍不等于解决求导 ​

设 $0<\theta <\theta +h<1$，$g_{\theta }(U)=\mathbf{1}\{U\le \theta \}$。用同一输入做前向差分，单次输出

所以 $E{H}_h=1$，$\mathrm{Var}(H_h)=(1-h)/h$；平均 $m$ 对后方差为 $(1-h)/(mh)$。独立输入差分的方差却为

$h$ 很小时，共同输入把这里的噪声增长从 $h^{-2}$ 改成 $h^{-1}$，但没有消除增长。以 $\theta =2/5,h=1/10$ 为例，两者方差分别是 $9/m$ 与 $49/m$。在光滑模型 $g_{\theta }(U)=\theta +U$ 中，同输入差分则恒为1；噪声尺度取决于路径结构，不能给所有模型套同一个差分结论。

阈值模型还显示交换导数与期望的危险：固定几乎每个 $U$，$g_{\theta }(U)$ 关于 $\theta$ 的导数为0，但 ${\partial }_{\theta }E{g}_{\theta }=1$。区间越来越窄、贡献越来越高，使差商缺少可直接交换极限的统一控制。CRN改善差分方差，不会自动证明路径导数法有效。

一份可执行的配对协议 ​

输入应包括两个完整方案、所需比较的输出量、重复次数 $m$ 以及共同随机事件的对应规则。给每个重复编号 $i$ 建立独立随机流；在该重复内部，把需要共享的随机量按事件种类和实体索引对应，例如“顾客j的服务需求”，而额外事件使用另一个标记的子流。这里要求的是每个方案的边缘抽样规则不变、重复之间独立、可共享事件的含义固定；并不要求强行对齐两个不同事件。

每个重复结束才生成一个 $D_i$，将其送入均值和平方差累加器。不变量是已完成的每一对都恰好给出一个合法差值。若某一侧仿真失败，记录整对失败及原因；只留下能比较成功的运行会改变目标。预设最大运行时间、输出非有限值处理与失败报告，不能用重新抽到成功为止的隐藏筛选维持表面样本数。

当 $m\ge 2$，以 $s_D^2=\sum _i(D_i-\overline{D}{)}^2/(m-1)$ 估计差值方差，MCSE为 $s_D/\sqrt{m}$。中心极限定理理路中心极限定理Central limit theorem适当归一化的独立随机变量和在分布上趋于正态分布。与正态区间都作用于独立差值。总成本为 $m$ 次A运行加 $m$ 次B运行和同步管理；累加工作 $O(m)$，但每个模拟的实际状态、事件数与时间另计。若两方案成本差异很大，还可比较给独立基准不同样本数的最优分配，本页的等量基准并不声称全局成本最优。

重复比较许多候选方案时，共同随机数有助于构成平滑比较曲线，却不消除“看过噪声后选择最好方案”的选择偏差。最终评价最好使用独立于选择的运行，或采用针对完整选择程序的误差分析。

自测与答案 ​

1. 两方案单次方差分别为4和9，配对协方差为3，独立配对运行100次。估计差值的方差为 $(4+9-6)/100=0.07$；不耦合的等量基准为0.13。
2. 阈值有限差分中，$h$减半、$m$不变会自动提高精度吗？不会。该例期望差分无偏，但方差 $(1-h)/(mh)$ 约增为两倍；对一般目标还须同时权衡差分偏差，不能只把步长往零调。