置信集合与检验的对偶

检验族从“固定候选参数，观察数据后是否拒绝”出发；反演时固定数据，扫描所有候选参数，把未拒绝者保留下来。两个步骤交换了哪一项固定，却使用同一拒绝关系。

若检验统计量为 $T(X,{\theta }_0)$，拒绝域为 $T>c_{\alpha }({\theta }_0)$，置信集合就是解不等式

所得的全部 ${\theta }_0$。该集合未必是单一区间；非单调统计量可产生不连通集合。

设 $X_1,\dots ,X_n$ 独立同分布于 $N(\mu ,{\sigma }^2)$，$\sigma >0$ 已知；$z_q$ 表示标准正态分布的 $q$ 分位数。双侧 $z$ 检验在

时拒绝。保留所有不满足拒绝不等式的 ${\mu }_0$，得到

即

例如 $n=25,\sigma =2,\overline{x}=10$，取 $\alpha =0.05$，标准误为 $0.4$，区间约为 $[9.216,10.784]$。候选值 ${\mu }_0=9$ 对应 $|z|=2.5>1.96$，被排除；候选值 $9.5$ 对应 $|z|=1.25$，被保留。扫描全部候选参数，得到的正是上面的区间，而不只是对两个数的判断。

因此 $H_0:\mu ={\mu }_0$ 在 level $\alpha$ 被拒绝，当且仅当 ${\mu }_0$ 不在对应 $1-\alpha$ 区间中。单侧检验反演为单侧置信界，而非同一个双侧区间。

复合假设与随机化 ​

若检验复合零假设 $H_0:\theta \in A$，可在参数空间中组织嵌套集合，但逐点反演最直接。nuisance 参数的 sup 校准、条件检验或 profile 处理会决定反演集合的覆盖。

随机化检验令 $\phi \in [0,1]$，反演后严格说得到随机化置信程序，还需同一额外随机币决定边界参数是否纳入。忽略随机化会改变离散模型的精确覆盖。

边界与失败情形 ​

把 p 值与区间对应时，还须统一边界约定。若规定 $p<\alpha$ 才拒绝，反演集为 $\{{\theta }_0:p_x({\theta }_0)\ge \alpha \}$，与上面含端点的 $z$ 区间一致；若规定 $p\le \alpha$ 拒绝，则保留 $p>\alpha$ 的参数。连续模型中边界通常是零概率事件，但它仍影响某次数据恰在端点时的逻辑等价；离散模型尤其不能忽略。检验方向、尾部分配和校准方法也必须相同。

未拒绝的参数不等于被证明为真；置信集合整体覆盖是程序性质。集合中各点的“可信度”不是频率学后验概率。

若只对每个固定参数有渐近 level，反演只给点态渐近覆盖；参数靠近边界时可能不统一。有限样本对偶不会把渐近检验升级为精确区间。

p 值函数可一并反演：若 $p_x({\theta }_0)$ 来自同一嵌套检验族，并采用 $p\le \alpha$ 的拒绝约定，则 $C_{\alpha }(x)=\{{\theta }_0:p_x({\theta }_0)>\alpha \}$。当 p 值关于参数不单调时，集合可能不连通；把最小、最大端点间全部补齐会增加覆盖，却不再是原检验的精确反演。

对目标 $g(\theta )$，可检验纤维零假设 $g(\theta )=u$ 并反演 $u$。每个纤维内的 nuisance 参数都必须共同控制 size；plug-in 一个 nuisance 估计值或只挑最有利值，会产生另一套覆盖性质，不能沿用原对偶保证。

等效性检验反演可得到落在预设容忍范围内的区间判据；多参数似然比检验反演产生 profile likelihood 区域。

对偶允许在检验和区间之间选择更容易证明或计算的一侧，但所有 nuisance 与选择步骤必须同步带过去。选择后推断理路选择后推断与截断正态校准Post-selection inference · Selective inference · 选择性推断在同一观测先被筛选再用于推断时，按选择事件重算零分布，并由截断正态枢轴得到条件有效的检验和区间。给出完整实例：先在固定单侧筛选下构造截断正态枢轴，再证明其对均值单调，求出条件等尾区间的两个端点。条件检验的反演得到条件覆盖，不能偷偷换回未筛选的分布。

若检验族具有嵌套性，改变 $\alpha$ 会产生嵌套置信集合；若每个水平独立设计而拒绝域不嵌套，反演仍可逐水平覆盖，却无法用单一p 值理路p 值p-value在零假设下校准的证据统计量，其小值事件的概率不超过对应阈值。函数编码全部结果。报告整条置信曲线时必须验证这种跨水平协调。

对有限多个参数的同时置信集合，检验对象应是相应联合零假设或经多重性校准的检验族。逐参数各自 $95\mathrm{\%}$ 覆盖不等于所有坐标同时 $95\mathrm{\%}$ 覆盖，对偶会把同一个 multiplicity 问题原样带到集合侧。