多重插补与 Rubin 合并规则

全方差分解公理库全期望公式与全方差公式Law of total expectation · Law of total variance · Iterated expectation借助条件信息分解总体均值，并把总波动拆成组内与组间两部分。把“给定补全后的方差”与“补全改变估计值的方差”相加。多重插补用 $\overline{U}$ 和 $B$ 分别近似两部分。多做插补能减少 $B/M$，却不会让资料真正缺失造成的 $B$ 消失。

有效合并依赖适当的随机插补、与分析相容的模型，以及合理的缺失机制公理库缺失数据机制Missing-data mechanism · MCAR · MAR · MNAR用观测指示变量的条件分布描述哪些数据被保留，并区分完全随机、随机和非随机缺失及忽略机制的条件。假设。常见 MAR 分析需要在插补模型中纳入解释缺失与结果的重要观测信息，并反映模型参数的不确定性。反复填写同一个预测均值，会使 $B=0$，却没有真实表达缺失的不确定性。

三份补全给出 $Q=(10,12,11)$，各份完整资料方差均为 $4$。于是 $\overline{Q}=11$、$\overline{U}=4$、$B=1$，总方差为 $4+4/3=16/3$，标准误约 $2.309$。

只平均三个标准误，会得到 $2$，遗漏组间变化。把三份资料堆成一个三倍大的数据集，则会把同一组已观察信息重复当作新样本。正确流程是每份单独拟合、最后合并参数及方差。

对于风险比或优势比，通常先在对数尺度合并，再把估计和区间变回原尺度。多个参数联合检验需要合并方差协方差矩阵；各份 $p$ 值的简单平均不对应 Rubin 规则。

MNAR 情形需要进一步假设或敏感性分析。增加 $M$ 只使计算更稳定，并不修正错误缺失机制。复杂调查还要在每份完整资料中采用正确设计方差，并让插补考虑权重、分层和簇信息。

单元练习：设计、校准与补全分开验收 ​

取总体 $y=(2,4,8)$，两人样本概率为 $p_{12}=1/2,p_{13}=3/10,p_{23}=1/5$。列出一阶、二阶纳入概率；计算 HT 总量及设计方差；若抽中 $\{1,3\}$，比较 HT 均值、Hájek 均值与只校准人数的总量。最后合并三份补全给出的 $Q=(10,12,11)$、$U=(4,4,4)$。

一阶概率是 $(4/5,7/10,1/2)$，三个非对角二阶概率就是各样本概率。总体总量为 $14$，HT 的三个可能结果为 $115/14,37/2,152/7$，设计方差为 $243/7$。

在 $\{1,3\}$ 样本中，HT 均值为 $(37/2)/3=37/6$；Hájek 均值为 $74/13$。只校准人数为三、并取二次距离中 $q_i=1$ 时，所有原权重乘 $3/(13/4)=12/13$，新权重为 $(15/13,24/13)$，校准总量是 $222/13$。它恰等于三倍 Hájek 均值，仍与真总量有抽样差异。

合并部分得到 $\overline{Q}=11$、$T=16/3$。再说明：若观测来自同一簇，组内相关应先进入每份分析的 $U_m$；$B$ 表达补全之间的差异，不能代替簇抽样方差。验收答案必须把设计随机性、权重约束和缺失不确定性分清，并准确给出上述可复算结果。