量子信号处理 | Codeboy's Blog

形式陈述

对信号 $x\in[-1,1]$ ，固定单qubit酉

W(x)=\begin{pmatrix}x&i\sqrt{1-x^2}\\i\sqrt{1-x^2}&x\end{pmatrix} =e^{i\arccos(x)X}, \qquad Z(\phi)=e^{i\phi Z}.

量子信号处理（QSP）选择实相位 $\Phi=(\phi_0,\ldots,\phi_d)$ ，形成电路矩阵

V_\Phi(x)=Z(\phi_0)\prod_{j=1}^d[W(x)Z(\phi_j)]. \tag{1}

乘积按书写顺序从左到右排列，实际作用时仍是最右因子先执行。一次序列使用 $d$ 次信号门和 $d+1$ 次已选相位门。

完整可实现性定理。 记 $P^*,Q^*$ 为系数逐项共轭的多项式。存在相位序列使

V_\Phi(x)=\begin{pmatrix} P(x)&iQ(x)\sqrt{1-x^2}\\ iQ^*(x)\sqrt{1-x^2}&P^*(x) \end{pmatrix} \tag{2}

对所有 $x\in[-1,1]$ 成立，当且仅当：[1, Theorem 3]

$P,Q\in\mathbb C[x]$ ， $\deg P\le d$ 、 $\deg Q\le d-1$
$P$ 具有 $d$ 的奇偶性， $Q$ 具有 $d-1$ 的奇偶性
对所有 $x\in[-1,1]$ ， $|P(x)|^2+(1-x^2)|Q(x)|^2=1$

零多项式允许，视为同时具有两种奇偶性； $d=0$ 时要求 $Q=0$ 、 $P$ 为单位模常数。只写 $|P|\le1$ 不是完整条件；补多项式 $Q$ 、次数和奇偶性都不能省略。

直觉

信号门带来未知参数 $x$ ，相位门提供我们可调的旋钮。交替相乘让不同路径的振幅相加或抵消，形成一个多项式响应。

但每个 $x$ 上的最终矩阵仍必须酉。目标响应占用了多少振幅，其余矩阵元就必须精确补齐多少；这正是第三条恒等式。QSP是在酉性允许的范围内设计函数，不是任意多项式都能直接塞进一个矩阵元。

一阶零相位序列给x，三阶零相位序列给4x立方减3x；另一组三阶相位正pi/3与负pi/3给x立方，三条曲线都在负一到一内。

曲线表示酉矩阵元的实响应，不是测量概率；负值表示振幅符号，不能解释成负概率。

例子与边界

一阶与三阶零相位序列

$d=1$ 、 $\phi_0=\phi_1=0$ 时， $V=W$ ，所以 $P=x,Q=1$ ，直接满足 $x^2+(1-x^2)=1$ 。

若 $d=3$ 且全部相位为0，则 $V=W^3=e^{3i\arccos(x)X}$ ，

P(x)=4x^3-3x=T_3(x),\qquad Q(x)=4x^2-1.

这与Chebyshev多项式的 $T_3(\cos\theta)=\cos3\theta$ 一致。也可直接验证

(4x^3-3x)^2+(1-x^2)(4x^2-1)^2=1.

例如 $x=1/2$ 时，三次信号响应为 $-1$ ，而不是 $x^3=1/8$ 。重复同一个信号门自然生成的是角度三倍，不是逐点振幅相乘后只保留 $x^3$ 。

选择相位，可以真正得到x立方

取

\Phi=(0,\pi/3,-\pi/3,0),\qquad c=e^{i\pi/3}.

逐矩阵相乘，或用下一节递推，可得

P(x)=x^3,\qquad Q(x)=x^2+c.

因为 $|c|=1$ 、 $2\operatorname{Re}c=1$ ，

|Q(x)|^2=x^4+x^2+1, \qquad x^6+(1-x^2)(x^4+x^2+1)=1.

它满足三阶所需的全部条件。这个例子显示相位不是装饰：同样调用三次 $W$ ，可以得到 $T_3(x)$ 或 $x^3$ 两种不同响应。

有界还不够：完整矩阵元与实部不同

试图让完整 $P(x)=x/2$ 。它奇、次数1且在区间内有界，但在 $x=1$ 处，第三条要求 $|P(1)|=1$ ，实际只有 $1/2$ ，因此不可能成为式 (2) 的完整左上矩阵元。

若只要求 $\operatorname{Re}P=x/2$ ，却可以实现：取一阶相位 $(\pi/3,0)$ ，便有 $P=e^{i\pi/3}x$ 。实部正确，剩余虚部保证端点仍有单位模。反之，目标实响应 $2x$ 在 $x=1$ 超过1，连实部也不可能来自一个酉矩阵元。

因此“QSP能实现任意有界奇偶多项式”通常指允许取实部或增加辅助读出后的版本，不能把它无说明地替换成式 (2) 的完整矩阵元断言。

推论与应用

定理的两边怎样证明

必要性可逐次相乘。若前一段对应 $P_0,Q_0$ ，右接 $WZ(\phi)$ 后，

P_1=e^{i\phi}[xP_0-(1-x^2)Q_0],\qquad Q_1=e^{-i\phi}[P_0+xQ_0].

次数每步最多增加1，奇偶性翻转；矩阵乘积保持酉性，遂给出补齐恒等式。

充分性反过来剥掉最后一层。若 $P$ 的实际最高次数为 $\ell\ge1$ ，其最高系数为 $p_\ell$ ， $Q$ 的最高系数为 $q_{\ell-1}$ ，恒等式的最高次项抵消要求 $|p_\ell|=|q_{\ell-1}|$ 。选择

e^{2i\phi}=p_\ell/q_{\ell-1}.

右乘 $Z(-\phi)W^\dagger$ 后的新多项式为

\widetilde P=e^{-i\phi}xP+e^{i\phi}(1-x^2)Q, \qquad \widetilde Q=e^{i\phi}xQ-e^{-i\phi}P.

最高项恰好抵消，次数降到 $\ell-1,\ell-2$ ，其余条件由酉性和奇偶性保留。递归到常数相位即可。若实际次数低于预定 $d$ ，差是偶数，可插入恒等的两信号片段

WZ(\pi/2)WZ(-\pi/2)=I

补齐长度。这给出已知合法 $P,Q$ 时的相位合成机制，而不是只引用一个存在结论。

实有界多项式的读出版本

对实多项式 $p$ ，若 $\deg p\le d$ 、奇偶性与 $d$ 相同，且 $|p(x)|\le1$ ，则存在完整合法多项式对使 $\operatorname{Re}P=p$ 。[1, Theorem 5]

其补齐机制是把非负偶多项式 $1-p^2$ 写成

1-p(x)^2=B(x)^2+(1-x^2)C(x)^2,

其中 $B,C$ 有相应次数和奇偶性。取 $P=p+iB,Q=iC$ 就满足完整恒等式。分解的存在与构造见 [1, Lemma 6]；不能直接设 $Q=\sqrt{1-p^2}/\sqrt{1-x^2}$ ，因为那一般不是所需次数的多项式。

若要把实部变成一个可调用的块，可增加一个辅助位，相干选择 $V_\Phi$ 与 $V_{-\Phi}$ ，再投影该辅助的 $|+\rangle$ 。二者的左上多项式互为共轭，平均给 $(P+P^*)/2=p$ 。两分支有相同信号门骨架，只需控制相位符号；新增的辅助投影及成功概率仍是接口的一部分。

次数、数值合成与谱应用

次数 $d$ 对应 $d$ 次信号访问。已知完整合法 $P,Q$ 时，上述降阶过程用 $O(d^2)$ 次精确算术操作；从一个实目标开始还要做补多项式构造，实际数值精度与稳定性需另计，不能把任意实相位当成已免费算出。

若每次信号门误差至多 $\eta$ 、第 $j$ 个相位角误差至多 $\delta_j$ ，用逐门替换的算子误差预算，总算子误差至多 $d\eta+\sum_j|\delta_j|$ 。这是电路实现误差；目标函数的多项式逼近误差还要单独加入。

Qubitization把矩阵特征值放到相同类型的二维信号空间中，QSP的同一相位序列便能对所有特征值同时工作。推广到左右奇异向量不同的矩阵时，还需交替原块编码与其逆，形成量子奇异值变换。

参考资料

[1] András Gilyén, Yuan Su, Guang Hao Low and Nathan Wiebe, Quantum Singular Value Transformation and Beyond, 2018作者版，§3.1 Theorems 3–5、Lemma 6与Corollary 8：固定信号约定、完整多项式对、降阶及实部补齐。

形式陈述 ​

一阶与三阶零相位序列 ​

选择相位，可以真正得到x立方 ​

有界还不够：完整矩阵元与实部不同 ​

定理的两边怎样证明 ​

实有界多项式的读出版本 ​

次数、数值合成与谱应用 ​