译码转发中继 | Codeboy's Blog

形式陈述

有限字母表的全双工离散无记忆中继信道的转移律为 $W(y_2,y_3|x_1,x_2)$ ：源发 $X_1$ ，中继发 $X_2$ 并见 $Y_2$ ，终点见 $Y_3$ 。中继当前输入只依赖过去观察 $Y_2^{i-1}$ 。消息均匀，要求终点平均块错误趋零。

译码转发（DF）给出可达率

R<\max_{p(x_1,x_2)} \min\{I(X_1;Y_2|X_2),\ I(X_1,X_2;Y_3)\}.

第一个互信息保证中继能译出新消息，第二个保证源与中继协作后终点能译出。对一般中继信道这是容量下界，而非总能取等号的容量公式。

直觉

中继像一个接力者：先完整理解上一段要传的消息，下一段才能与源使用相配合的码字帮助终点。理解消息使它能提供干净的协作信号，也使源到中继链路成为硬瓶颈。

把消息拆成 $B-1$ 个小块，使用 $B$ 段信道码。在第 $b$ 段，中继已知上一消息 $m_{b-1}$ ，发送其码字；源围绕同一上一消息，叠加本段新消息 $m_b$ 。中继给定自己的码字译出 $m_b$ ，为下一段做准备。

终点可从最后一个已知终止块开始倒序译码，逐步借助下一段提供的协作信息恢复前一消息。两类译码错误分别产生公式中的两项。启动和终止开销使总有效率乘 $(B-1)/B$ ，先让每段码长足够大，再取 $B$ 大，开销可趋零。

这也解释了为何优化允许相关的 $p(x_1,x_2)$ ：双方拥有上一块已译出的共同消息，可协调码字。相关性来自协议建立的知识，不是假定中继在开始前知道所有源消息。

例子与边界

源到中继为一条每次 $2$ bit 的无噪链，中继到终点为每次 $1$ bit 的无噪链，没有直达路径。DF 的两项为 $2$ 与 $1$ ，故可达率趋近 $1$ 。切集上界也是 $1$ ，此时才可得容量等于 $1$ 。

若中继观察几乎与 $X_1$ 独立，则 $I(X_1;Y_2|X_2)$ 很小，即使终点自己已看到不少信息，完整 DF 的公式仍受这一项限制。系统至少可以忽略中继直接通信；更好的策略还可以只译部分消息，或采用压缩转发，让中继只传观察描述。

因此一种 DF 内界小于直传率，并不表示网络容量变小，只表示这项特定完整译码策略不适合当前参数。下界可与其他可达策略取最大值。

推论与应用

对物理退化中继 $X_1\to(Y_2,X_2)\to Y_3$ ，切集第一项可化为 $I(X_1;Y_2|X_2)$ ，与 DF 相匹配，因而得到容量。这个等号来自额外退化结构；去掉该结构后，应保留“可达下界”的表述。

实际有限码实现中，中继误译还可能污染下一块协作。渐近随机编码分析通过让每块错误足够小并对有限块数作并集界控制；协议设计仍需明确错误检测、延迟与终止方式。

参考资料

Cover 与 El Gamal，“Capacity Theorems for the Relay Channel”，1979，译码转发与退化容量。
El Gamal 与 Kim，《Lecture Notes on Network Information Theory》完整 v4，Chapter 17，分块 Markov 编码与 DF 下界。