有基链复形的单位主元消去

删除的是一对可互相解释的方向 ​

写成

其中 $w$ 不含 $b$。把低一度的基向量 $b$ 换成 $u^{-1}da$，它与 $a$ 就组成边界为单位的两项可缩复形。其他 $p$ 次链的边界如果也经过 $b$，要先减掉适当倍数的 $a$，才能与这对方向分开。

具体地，对剩余 $p$ 次基向量 $y$，

在其他次数，$\iota$ 就是保留原基。反向映射则满足

并把其他基送到其剩余坐标。因此 $b$ 不是简单扔掉，而是被它与 $da$ 的关系替换。

对剩余 $y\in C_p$、$x\in C_{p-1}$，新的边界系数为

它与Schur消元理路Schur 补与静态凝聚Schur complement · Static condensation把内部变量的精确响应折入界面矩阵与右端，推导 Schur 补、恢复公式及最小能量性质，并逐项凝聚五节点链。的“原系数减去经主元的间接通路”同形。不过这里的交付还包含相邻边界与链同伦，不能把线性系统的一次行列删除直接当成全部证明。

为什么这些公式真的组成一个复形 ​

由定义，$h^2=0$；而 $hdh=h$，因为 $d(u^{-1}a)$ 的 $b$ 系数为一。于是 $dh$ 和 $hd$ 都是幂等映射，二者乘积均为零：一边使用 $h^2=0$，另一边使用 $d^2=0$。因此

对剩余基，$Pj$ 只可能额外添上 $a$ 的倍数，故 $\pi Pj=1$。还须核 $Pj\pi P=P$，不能只从这一条左逆猜出右逆。事实上 $Pa=0$、$Pda=0$，且每个 $Pv$ 的 $b$ 坐标为零，因为 $hP=0$。故 $Pv-j\pi Pv$ 只能是 $a$ 的倍数，再用 $Pa=0$ 与 $P^2=P$，便得所需恒等式。

现在 $\iota \rho =P$、$\rho \iota =1$。$P$ 与 $d$ 交换说明 $\mathrm{im}P$ 是子复形，而 $\iota$ 把 $C^{\prime }$ 的坐标同构到该子复形。把 $d$ 通过这个同构搬回去，就得到式(1)的 $d^{\prime }$ 及全部式(2)。最后 $Ph=hP=0$ 给式(3)的旁条件。

同样由 $d^2=0$，可把微分公式写成

式(6)只是其中发生非平凡系数更新的一块；上下相邻边界应一起按完整公式保留，不能各自挑一套互不相容的基。

一条有两个余面的边，仍能代数消去 ​

取有向三角形 $[012]$、$[023]$，共用对角边 $[02]$。约定顶点递增给定方向，则

选 $a=[012]$、$b=[02]$，主元 $u=-1$。删除这对后，剩余二维基记作 $[023{]}^{\prime }$，它的边界变成

这是一条四边环。映射具体为

例如 $\iota d^{\prime }[023{]}^{\prime }=d([023]+[012])$，公共对角边正好抵消。又如

边 $[02]$ 在完整复形中有两个三角余面，并不是可作单纯自由面塌缩的自由面。这里合法的是代数单位对分离；剩余链复形也不再只是原来若干单形的子复形。

非零主元不一定能除 ​

整数复形 $\mathbb{Z}a\stackrel{\times 2}{\to }\mathbb{Z}b$ 的零次同调是 $\mathbb{Z}/2$。若把主元二当作单位删掉，剩余零复形的同调为零，显然丢失了挠信息。改到有理数域后，二可逆，这对确实可缩；改到特征二的域，边界却变成零，两条基各自留下一个同调方向。

因此必须先声明系数环，再判断主元。反过来，“当前没有单位条目”也不意味着复形已达到某种最小形式；换基或成块处理可能暴露新的可逆部分。本页只认证已给单位对，不声称找到了最优删除顺序。

异级消去可能抹掉一段真实寿命 ​

令 $db=a$，$a$ 在级别零出现、$b$ 在级别一出现。最终两项复形可缩；但在 $0\le t<1$，$a$ 是尚未被填掉的同调类，给区间 $[0,1)$。如果把二者直接删除，早期同调就消失了。

在构造中，收缩把 $a$ 送到 $b$，提高了过滤级别，所以失败原因可直接在 $h$ 上看见。相等条件(4)保证 $h$ 不提高级别，再由边界同样不提高级别推出 $P,\iota ,\rho$ 的过滤相容。这正是额外条件的用途。

多步消去要把证书一起复合 ​

设先从 $C$ 收缩到 $C^{\prime }$，得到 $({\iota }_1,{\rho }_1,h_1)$；再从 $C^{\prime }$ 收缩到 $C^{″}$，得到 $({\iota }_2,{\rho }_2,h_2)$。合成证书为

将 $1-\iota \rho$ 拆成

即可得到 $dh+hd$。旁条件由两步各自的 $h_i^2=0$、$h_i{\iota }_i=0$、${\rho }_i{h}_i=0$ 逐项相消。每一步都保过滤时，合成也保过滤。

交付一个小复形之后，应同时保留这些映射。原循环 $z$ 被送到 $\rho z$；若在小复形找到 $\rho z=d^{\prime }w$，则

因为 $dz=0$。这给出原复形里真正的填充链，而不是只报告“该类为零”。

作为持续计算的预处理 ​

持续边界约化理路持续边界矩阵的列约化证书Persistence boundary matrix reduction · Persistent homology matrix reduction按过滤顺序约化边界列，维护R=DV并构造真实过滤基W与DW=WB，严格恢复条码、出生循环和死亡填充链，核清同级空条与R不是新微分的边界。需要保留跨级别的映射。可以先删除同级单位对，再在剩余复形上计算条码，最后用 $\iota$ 恢复循环与填充链。重新排序剩余基时，应继续按过滤值排序，同级先低次数，保证所有非零边界仍在列之前。

一次单位对更新在相邻边界上可能产生新非零系数，称为填充。更小的基数不保证更稀疏的矩阵，选择顺序还影响中间存储。本页的数学保证是映射与同调保真；没有把它包装成任何输入上都更快的算法。