有限过滤的持续同调

一张图里有一个环，下一张图里也有一个环，这是不是同一个环一直活着？只报两次“洞的个数都是一”无法回答。第一条环可能已经被填掉，同时别处又长出一条新环。持续同调保留两张图之间的包含关系，让早期的类能够被送到后来，再问它是否已经成为边界。

本页限定有限过滤与域系数，先把对象和时间约定说清，再调用已有的区间分解。一般区间分类的证明在旧页；这里的工作是从真正的循环、边界和包含映射取得那串线性数据。

形式陈述

每层同调与层间映射一起构成输入

固定域 $\mathbb F$ ，考虑有限维链复形的子复形过滤

0=F_{-1}C\subseteq F_0C\subseteq\cdots\subseteq F_NC=C. \tag{1}

子复形条件是 $d(F_jC_k)\subseteq F_jC_{k-1}$ 。可给严格递增的真实级别 $t_0<\cdots<t_N$ ，并约定 $F_tC=F_jC$ 当 $t_j\le t<t_{j+1}$ ；第一层以前为零，最后一层以后保持 $C$ 不变。这个常值尾部是本页明确选择的模型。

固定同调次数 $k$ 。包含是链映射，因此诱导

V_j=H_k(F_jC;\mathbb F),\qquad \phi_{i,j}:V_i\to V_j,\quad [z]\mapsto[z], \qquad i\le j. \tag{2}

这些映射满足 $\phi_{j,\ell}\phi_{i,j}=\phi_{i,\ell}$ 、 $\phi_{i,i}=1$ 。全部空间与映射组成过滤的 $k$ 次持续同调。它不是一列彼此无关的同调群，也没有假设式(2)是单射：早期的循环可以被后来的链填掉。

记早期循环空间为 $Z_k(F_iC)$ ，后来边界空间为 $B_k(F_jC)$ 。从第 $i$ 层持续到第 $j$ 层的同调空间是映射的像，并有

\operatorname{im}\phi_{i,j} \cong \frac{Z_k(F_iC)}{Z_k(F_iC)\cap B_k(F_jC)}. \tag{3}

这直接来自循环模边界的定义：映到零的早期循环，恰是后来已有填充链的那些循环。分母一般不能写成整个 $B_k(F_jC)$ ，因为后来边界未必已经位于早期链空间里。

条码借助已有的有限链分类

式(2)的相邻映射形成有限等向链。由A型箭图区间分解，它可唯一分解成若干区间表示，唯一性指区间重数，而不是循环代表的唯一性。

旧页的顶点编号为 $1,\ldots,n$ ；这里先把第 $j+1$ 个顶点重编号为 $j$ ，得到 $0,\ldots,N$ （ $n=N+1$ ）。以下沿用闭整数区间记号 $I[a,b]$ ，但端点 $a,b$ 已按本页的零起点编号。在当前实际时间约定下，它对应

[t_a,t_{b+1})\quad(b<N),\qquad [t_a,\infty)\quad(b=N). \tag{4}

左端包括出生时刻，右端不包括死亡时刻。区间内部是一维方向及恒等传递，区间外为零。所有区间组成条码。同一端点对可以出现多次，必须保留重数。

若 $s\le t$ ，持续映射的秩等于同时覆盖 $s,t$ 的条数。特别地，覆盖单个 $t$ 的条数等于 $\dim H_k(F_tC)$ 。反向从所有跨时刻秩恢复区间重数，也由上述旧页的差分公式完成；本页不另立一份重复的分类定理。

直觉

“成为边界”由未来提供的填充链决定

在单层同调里，循环 $z$ 是否为零，要看当前有没有 $w$ 满足 $dw=z$ 。过滤不改变已经出现的边界公式，只逐步允许更多链加入。如果 $z$ 在早期不是边界、后来第一次有了填充，它代表的方向就在那时死亡。

区间分解还允许更换同调基。不能把图上每一条随手圈出的闭路都当作一条独立条码：它可能是几条条码代表的线性组合，也可能随着时间需要换代表。规范的是整串映射的同构类型和区间重数，不是某条画出来的曲线。

四边环从出生到填满

考虑顶点 $0,1,2,3$ 。全部顶点在时刻零出现；边 $01,12$ 在时刻一出现；边 $03,23$ 在时刻二出现；对角边 $02$ 与三角形 $012$ 同在时刻三出现；三角形 $023$ 在时刻五出现。

每个面都不晚于包含它的单形，故这确实给出单纯链复形的过滤。按顶点递增定向，一维链

z=[01]+[12]+[23]-[03] \tag{5}

的边界为零。它从时刻二起存在，在时刻三加入对角边与一块三角形后仍未被填满；到时刻五才有

z=d\bigl([012]+[023]\bigr). \tag{6}

因此一维条码只有 $[2,5)$ 。这不只是各层一维同调维数的比较：式(5)是同一条循环，式(6)交出了让它死亡的实际填充链。

零维使用普通同调。最初四个顶点给四个分支；时刻一的两条边把 $0,1,2$ 连在一起，减少两个方向；时刻二再连接顶点三，减少一个方向。零维条码为

[0,1),\quad[0,1),\quad[0,2),\quad[0,\infty). \tag{7}

最后一条记录非空连通空间的普通 $H_0$ 。如果选择约化同调，必须明确改变这项输出，不能在计算中悄悄删掉它。

例子与边界

每层Betti数相同，跨时刻仍可完全不同

考虑两份有相同生成元的过滤链复形。次数零有一直存在的基点 $v$ ；次数一的 $a$ 在时刻零出现， $b$ 在时刻一出现；次数二的 $x$ 也在时刻一出现。两个一链的边界均为零。

第一份规定 $dx=a$ ，第二份规定 $dx=b$ 。两份在早期的 $H_1$ 都是一维，晚期也都是一维。但是第一份把早期的 $a$ 杀掉，晚期留下新来的 $b$ ，所以一维条码为

[0,1)\quad\text{与}\quad[1,\infty).

第二份在 $b$ 出现的同时填掉它，早期的 $a$ 始终保留，条码只有 $[0,\infty)$ 。前者早到晚的 $H_1$ 映射秩为零，后者为一。它们可以分别理解为在一楔和圈上附加填充盘的胞腔过程，因此并非只能靠抽象矩阵制造的差异。

这也说明只比较最后空间的同调更不够：最后都剩一个一维方向，却可能完全丢失它的来源。

同时发生的事不能制造虚假的寿命

主例的对角边 $02$ 与面 $012$ 在同一时刻三出现。为了运行矩阵算法，可以先列边、后列面；在人工细化的中间索引里，确实短暂多出一个方向。但原过滤没有那个中间时刻，故对应实际区间 $[3,3)$ 为空，不能作为非零条码报告。

若只把面 $012$ 的出现改成时刻四，则真的增加一条 $[3,4)$ ，并继续保留 $[2,5)$ 。两份最终复形完全相同，时间数据却改变了持续对象。

同一真实时刻内部的合法排序可能改变哪一个索引与哪一个索引配对；还原真实端点并丢弃空区间后，非空条码由原始映射对象唯一决定。不能把索引间隔当成实际时间长度。

系数域是问题的一部分

取一个二项链复形，低一度基 $b$ 在时刻零出现，高一度基 $a$ 在时刻一出现，且整数边界为 $da=2b$ 。在有理数域上，二可逆， $b$ 对应一条 $[0,1)$ ；在 $\mathbb F_2$ 上，边界为零， $b$ 永不死亡， $a$ 还产生一个高一次数的 $[1,\infty)$ 。

持续同调在域上得到向量空间与区间分解。若保留整数系数，就还可能存在挠及更细的模映射，本页的域上线性条码分类不能照搬。软件默认特征二只是一个系数选择，不是所有拓扑信息都与系数无关。

推论与应用

计算既可交条码，也可交映射秩与链见证

边界矩阵约化在保过滤的列顺序下计算条码，并能同时给出出生循环与死亡填充链。独立验证不必重复同一套约化：先直接求早期循环空间，把它与后来边界空间合并，便有

\operatorname{rank}\phi_{i,j} =\dim\bigl(Z_k(F_iC)+B_k(F_jC)\bigr) -\dim B_k(F_jC). \tag{8}

这里两个空间都放在最终的 $C_k$ 中。式(8)来自式(3)的维数公式；它能与条码跨端点的计数逐项交叉核验，避免同一错误在两个同源实现中互相掩盖。

若先做同级单位链消去，来回映射与同伦都保过滤，就在每个级别诱导互逆同构，并与包含交换。因此整串持续对象不变。这比证明最终同调不变强得多，也是合法预处理需要保留的证书。

数据之外的未来不能由一条无穷尾猜出

本页在最后时刻以后明确采用常值延拓，所以未死亡的类写成 $[t_a,\infty)$ 。若真实观测只到某个截止时刻，尚未看到后来填充，则这条尾部只能解释为“在给定过滤的常值延拓中存活”。它不是关于未观测未来的物理预测。

构造点云上的距离复形、证明扰动下的条码稳定性、处理反向箭头或多参数过滤，都需要额外定义和定理。有限条码自身没有自动提供这些保证。一个可复核的交付至少应写明系数域、每层子复形、真实级别、普通或约化同调约定，以及是否人为延拓了最后一层。

参考资料

Ulrich Bauer，Ripser: efficient computation of Vietoris–Rips persistence barcodes，2021，§2的过滤与索引细化，§3.1 Proposition 3.1的循环、填充链及持续映射像。本文限定一般有限过滤，未实现该文的Vietoris–Rips专用优化。

形式陈述 ​

每层同调与层间映射一起构成输入 ​

条码借助已有的有限链分类 ​

“成为边界”由未来提供的填充链决定 ​

四边环从出生到填满 ​

每层Betti数相同，跨时刻仍可完全不同 ​

同时发生的事不能制造虚假的寿命 ​

系数域是问题的一部分 ​

计算既可交条码，也可交映射秩与链见证 ​

数据之外的未来不能由一条无穷尾猜出 ​

反向链接