有限群不变量环

一个不变量是在整条轨道上保持相同值的读数。若把全部这样的读数一起记录，它们不仅可以相加，还能相乘，因此应当保留为一个环。

对称多项式理路对称多项式与 Newton 恒等式Symmetric polynomial · Elementary symmetric polynomial · Newton identities · 基本对称多项式 · 牛顿恒等式证明每个对称多项式唯一由基本对称式表示，并用 Newton 恒等式在根的幂和与首一多项式系数之间计算。是熟悉的例子：对称群置换变量，而基本对称式给全部不变量的一组代数无关生成元。一般有限群也有有限生成元，却可能不可避免地带关系。下面的三阶作用只需三个生成元，但它们满足一个三次关系，不能当作三个独立坐标。

有限生成证明的关键也不是先猜出最漂亮的生成元。我们先造一个较小、显然有限生成的不变量子环，再把整个 $A$ 压进它上面的有限模；最后用Noether性控制夹在中间的 $A^G$。

三个生成元与一条完整关系 ​

取 $k=\mathbb{C}$，令 ${\omega }^3=1$、$\omega \ne 1$，并直接规定生成元 $\sigma$ 对变量的作用：

于是 $\sigma (x^i{y}^j)={\omega }^{i-j}{x}^i{y}^j$。不同单项式线性无关，所以一个多项式不变，当且仅当它的每个非零单项式都满足 $i-j\equiv 0(\mathrm{mod}3)$。

令

若 $i\ge j$，不变单项式可写为 $U^{(i-j)/3}{W}^j$；若 $i<j$，则可写为 $V^{(j-i)/3}{W}^i$。这证明三个元素生成全部不变量，不只是构造了三个例子。

它们满足 $UV=W^3$。要说明没有其他关系，在形式变量环 $\mathbb{C}[u,v,w]$ 中反复用 $uv=w^3$ 消去同时出现的 $u,v$，使任意剩余类成为下列单项式的线性组合：

两类分别映到 $x^{3a+c}{y}^c$ 和 $x^c{y}^{3b+c}$。前者的 $x$ 指数不小于 $y$ 指数，后者严格小于；各类内部指数也唯一决定参数。因此所有像互不相同，线性无关。式(3)既张成又独立，从而

例如 $x^8{y}^2+x^2{y}^8+3x^5{y}^5$ 对应 $U^2{W}^2+V^2{W}^2+3W^5$。这里小写字母是形式变量，大写字母是实际多项式；区分两者，才能准确谈“代入的核”。

有限域上的函数值不能代替系数恒等 ​

在 ${\mathbb{F}}_2[x]$ 中，$x^2-x$ 是非零形式多项式，却在两个域元素处都取零。所以“在每个 $k$-点上数值不变”不一定说明形式多项式满足 $g(f)=f$。本页式(1)要求环内相等，计算时须比较系数或给出代数证明。

有限生成的输入条件也不能删掉。令平凡群作用在无限变量环 $k[x_1,x_2,\dots ]$ 上，不变量环就是原环；任何有限组多项式只涉及有限多个变量，不能生成尚未出现的下一个变量。群虽然只有一个元素，结论仍因 $A$ 不是有限型而失败。

若群无限，下面的轨道多项式不再是有限乘积，本页证明也就不能直接使用。这里没有声称一切无限群的不变量环都不有限生成，而是必须重新核实那种作用的条件。

不需要平均的有限生成证明 ​

记 $m=|G|$。对每个代数生成元 $a_i$，引入新变量 $T$，构造

让群固定 $T$。任一 $h$ 将因子按 $g\mapsto hg$ 重排，因此 $P_i$ 的全部系数都属于 $A^G$。它首一、次数为 $m$，而单位元对应的因子保证 $P_i(a_i)=0$。即使轨道中有重复值，或 $A$ 有零因子，这些等式仍然成立。

令 $S$ 为式(5)中全部系数生成的 $k$-子代数。每个 $a_i$ 都在 $S$ 上整理路整扩张Integral extension · 整性扩环中每个元素都满足基环系数首一多项式方程的环扩张。；具体地，其首一方程把 $a_i^m$ 化成更低幂。因此有限集合

张成整个 $A$ 作为 $S$-模。它未必是基，证明只需要张成。若 $r=0$，空乘积为1，仍适用。

$S$ 是域上的有限型交换代数，故由Hilbert基定理成为Noether环理路Noether 环Noetherian ring每个理想有限生成，等价地理想升链最终稳定的环。。夹在 $S\subseteq A^G\subseteq A$ 中的 $A^G$ 是有限 $S$-模 $A$ 的子模，所以也有限生成为 $S$-模。选这组模生成元，再加上 $S$ 的有限代数生成元，就得到 $A^G$ 的有限代数生成集。式(6)也在更大的系数环 $A^G$ 上张成 $A$。

这条证明没有除以 $m$，也没有从乘积为零推出某个因子为零，因此适用于所述全部特征和零因子情形。它给存在性与一个有限模控制，却没有自动输出 $A^G$ 的最小生成元或全部关系。

不同有限轨道可以被不变量分开 ​

现在限于 $A=k[x_1,\dots ,x_n]$，群由定义在 $k$ 上的线性点变换作用，且只讨论 $k^n$ 中的 $k$-有理点。函数作用采用 $(gf)(z)=f(g^{-1}z)$。

设 $O_1,O_2$ 是两条不同轨道。它们是互不相交的有限点集。对有限集合 $E=O_1\cup O_2$ 中每个 $p$，对每个 $q\ne p$ 选择一个不同的坐标 $\ell (p,q)$，并设

分母是非零域元素。于是 $L_p(p)=1$，在其余 $E$ 中点上为零。令 $h=\sum _{p\in O_2}{L}_p$，它在整条 $O_1$ 上为0、整条 $O_2$ 上为1。最后取

各因子在两条轨道上的值分别仍为0与1；群又只重排因子，所以 $F\in A^G$ 且分开这两条轨道。任意特征下都不需要平均分母。不能只让 $h$ 在第二条轨道的一个点为1，否则乘积的其他因子可能把结果变成0。

对式(4)，读数 $(U,V,W)$ 已足以分开复数点的轨道。例如 $x\ne 0$ 时，相同的 $x^3$ 使另一个 $x^{\prime }$ 等于 ${\omega }^{r}x$，相同的 $xy$ 再迫使 $y^{\prime }={\omega }^{-r}y$；$x=0,y\ne 0$ 与原点分别处理。这个点集结论不把环中关系、幂零信息或一般基域的几何点问题一并消去。

下一步要交什么 ​

Reynolds算子理路Reynolds 不变量投影Reynolds operator · Reynolds 算子用群平均把多项式投影到不变量，证明固定次数基的完备性，并在特征二剪切作用中区分平均失效与不变量环仍有限生成。在群阶可逆时，能从任意多项式取出不变量部分，并逐次构造完整线性基。Molien级数理路Molien 级数Molien series · Molien theorem · Molien 公式从各次不变量投影的迹推导平均行列式公式，用三阶作用核对全次数维数，并说明级数何时能认证生成完备性。在复数线性作用下数出每个次数的维数。前者回答“怎样造”，后者帮助回答“是否漏项”；两者都不能省掉式(2)中的全部关系证明。单元终点将这三种证书用于同一个三阶例子，再迁移到特征二。