相反代数与双模

左边的操作写在向量左侧，后执行的左操作继续添在左侧；右边的操作则添在右侧。因此把右乘当作普通左算子时，复合顺序天然反过来。相反代数负责记录这个顺序，不是给非交换乘法补上交换律。

双模则允许从两侧操作同一个对象，要求左右动作可以互换。最直观的对象是矩形矩阵：左乘改变行的组合，右乘改变列的组合。矩阵的结合律保证先改行再改列与先改列再改行相同。

式 (1) 为什么保乘法，可以直接追踪一个 $m$：

右侧出现 $b^{\prime }b$，恰好是相反代数中的乘法。若漏掉 $\mathrm{op}$，右边就会错误地变成 $b{b}^{\prime }$。

矩形矩阵携带两个不同代数的作用 ​

取

通常矩阵乘法给出 $(A,B)$-双模。用 $E_{ij}$ 表示合适尺寸的矩阵单位，有

于是 $E_{ab}\otimes E_{cd}^{\mathrm{op}}$ 只读取 $M$ 的 $(b,c)$ 坐标，并把它放到 $(a,d)$ 坐标。六个输入位置和六个输出位置的全部配对都出现，所以

实际上是同构：式 (2) 将两侧各自的 $36$ 个矩阵单位基一一对应。

一个明确的次序反例 ​

在右侧 $M_3(k)$ 中取 $b=E_{12}$、$b^{\prime }=E_{23}$，并令 $R_b(m)=mb$。则

但 $b{b}^{\prime }=E_{13}$，所以 $R_{b{b}^{\prime }}(m)=m{E}_{13}$ 一般不为零。例如 $m=E_{11}\in M_{2\times 3}(k)$ 时，结果为 $E_{13}$。故 $b\mapsto R_b$ 不是 $B\to {\mathrm{End}}_k(M)$ 的同态，而是 $B^{\mathrm{op}}\to {\mathrm{End}}_k(M)$ 的同态。

左右分别是作用还不够成为双模。在 $M=k^2$ 上，若把两个非交换矩阵分别当作左侧和右侧生成元的作用算子，它们可能不交换；此时 $(am)b=a(mb)$ 失败，式 (1) 无法给出张量积代数的作用。

正则模的端同态为什么带一个 op ​

把 $A$ 看作左 $A$-模。若 $f:A\to A$ 左线性，则

所以每个端同态都是右乘某个 $c=f(1)$。记该映射为 $R_c$，便有

这个等式是 Artin–Wedderburn 证明公理库Artin–Wedderburn 结构定理Artin–Wedderburn theorem · Wedderburn–Artin theorem由正则模的端同态环证明矩阵除代数分块，并显式构造实群代数R[C3]与R×C的同构。中必须保留的方向信息。即使矩阵转置能给 $M_n(k)$ 与自身相反代数一个同构，一般代数也不能因此直接删去 $\mathrm{op}$。

双模可以连接两个不同的模范畴 ​

若 $P$ 是 $(A,B)$-双模，而 $N$ 是左 $B$-模，则平衡张量积公理库张量积Tensor product把双线性映射统一因子化为线性映射，并可在交换环上的模中以平衡关系构造的张量积。 $P{\otimes }_{B}N$ 成为左 $A$-模，作用为

其良定义依赖双模交换律：张量关系 $pb\otimes n=p\otimes bn$ 经左乘 $a$ 后仍成立，因为 $a(pb)=(ap)b$。因此“把 $B$-模变成 $A$-模”的操作可以由一个双模实现。

自检：取列空间 $P=k^2$ 为 $(M_2(k),k)$-双模，行空间 $Q=(k^2{)}^{\ast }$ 为 $(k,M_2(k))$-双模。映射

将 $v_i\otimes v_j^{\ast }$ 送到 $E_{ij}$，所以是双模同构。反向的 $Q{\otimes }_{M_2(k)}P\to k$ 由评价 $\phi \otimes v\mapsto \phi (v)$ 给出；矩阵单位关系使所有非对角项消失，并让两个对角项相等。这个一维商就是 Morita 等价公理库Morita 等价Morita equivalence显式构造M2(k)与k的模范畴等价，证明投射生成元判据，并通过三种代数完成带解答的单元任务。的基本例子。