单模与零化理想

单性检验的是“在所有允许操作下保持封闭的子空间”，而不是空间维数。一个二维空间若允许所有二阶矩阵操作，那么任何非零向量都能被送到任意位置，无法保留一条真不变直线。它因此是单模。

零化理想则收集对整个模完全无效的操作。它与某个单独向量的稳定条件不同：$rm=0$ 只检验一个 $m$，而 $r\in \mathrm{Ann}(M)$ 要同时杀掉所有向量。

若 $0\ne s\in S$，则 $Rs$ 是非零子模，所以 $Rs=S$。映射 $R\to S,r\mapsto rs$ 满射，其核为左理想 $L$。由商模公理库商模Quotient module按子模诱导的陪集等价关系取商并继承模运算的结构。的子模对应，$R/L$ 没有非平凡子模恰好要求 $L$ 极大。这也解释了极大左理想为何自然出现。

二阶上三角代数恰有两个单模 ​

取

$I$ 是双边理想，且 $I^2=0$。对任何单 $T$-模 $S$，$IS$ 是子模。若 $IS\ne 0$，单性给 $IS=S$，继而

矛盾。因此 $IS=0$，每个单模都经 $T/I\cong k\times k$ 作用。

在 $k\times k$ 中，两个幂等元 $(1,0),(0,1)$ 之和为1。它们将任意模分成两个子模；在单模上恰有一个非零。非零部分又是一个单 $k$-模，所以是一维。于是全部单模为

两者不同构，因为 $e_{11}$ 在前者上是恒等，在后者上是零。零化理想分别为

它们的交为 $k{e}_{12}$：这条非零操作对所有单模都不可见，却能在更大的模中发生作用。

单模可以二维，也可以忠实 ​

令 $A=M_2(k)$ 作用于列向量 $k^2$。若非零向量 $v=(a,b)$ 的 $a\ne 0$，则 $a^{-1}{E}_{11}v=v_1$、$a^{-1}{E}_{21}v=v_2$；若 $a=0$，改用第二列矩阵单位。因此任何包含 $v$ 的子模都含两条标准基，必为全空间。这个自然模是单模。

一个矩阵若杀掉两个标准基，就每一列都为零，因此零化理想为0。取向量 $v_1$，映射 $A\to k^2,X\mapsto X{v}_1$ 的核却是“第一列为零”的矩阵集合，显然非零。这个核是极大左理想，但不是自然模的零化理想：它只杀掉 $v_1$，未必杀掉 $v_2$。

有子模不等于可拆成直和 ​

在 $k[t]/(t^2)$ 上，$(t)$ 是非零真子模，所以正则模不单。若有一维补模，它必须由 $1+at$ 生成并在乘 $t$ 下封闭；但 $t(1+at)=t$ 不在这条直线上。因而它虽然不单，却不能拆成两个非零子模的直和。不可分解性公理库不可分解模Indecomposable module用模端同态中的幂等元判定不可分解，计算二维幂零作用与三直线配置，并区分单性和标量端环。问的是另一件事。

零化理想是作用环同态公理库环同态Ring homomorphism保持加法与乘法的映射；保持单位元时称为保幺环同态。 $R\to {\mathrm{End}}_{\mathbb{Z}}(M)$ 的核，因此 $R/\mathrm{Ann}(M)$ 在 $M$ 上忠实作用。这个商只删掉整个表示永远无法观测到的操作。

若 $S,T$ 为单模，非零模同态 $f:S\to T$ 的核只能为0，像只能为 $T$，所以它是同构。由此 ${\mathrm{End}}_R(S)$ 的每个非零元素都可逆，是一个除环。只有另加合适基域与有限维条件，才可进一步说这些端同态全是标量。

自检：对前面的上三角代数，判断自然模 $k^2$ 是否忠实、是否单。它忠实，因为作用就是原矩阵；它不单，因为 $k{v}_1$ 是不变直线。再比较 $S_1\oplus S_2$：该模由单模组成，却不忠实，其零化理想为 $k{e}_{12}$。这四项判断把“由简单部分组成”和“能看见全部代数”分开。