模的组成列与 Jordan–Hölder 定理

组成列像把一个对象装入逐层变大的盒子，每一层只新增一种不能再细分的材料。定理保证材料清单不随拆法改变，但不保存材料之间怎样接起来。

这与直和不同。组成因子是相邻两层的商，未必能在 $M$ 内分别找到互相独立的副本。一个非分裂扩张可以有与直和相同的材料清单，却有不同的作用矩阵。

存在性来自维数下降。在所有非零子模中选择维数最小的一个 $S$，它必单；再对维数更小的 $M/S$ 作同样处理，将商中的子模逐一拉回，就得到 $M$ 的组成列。每增加一层至少增加一个维数，所以过程有限终止。

同一三维模的两种剥离次序 ​

令

写 $u=1mod{t}^2$、$v=tmod{t}^2$，以及 $w=1mod(t-1)$，则

一条组成列为

其因子依次是 $S_0,S_0,S_1$，其中 $S_{\lambda }$ 表示 $t$ 按标量 $\lambda$ 作用的一维模。

另一条为

因子依次是 $S_1,S_0,S_0$。每一层都对乘 $t$ 保持封闭；在最后一个商中，$tu=v$ 已被商掉，所以 $t$ 作用为零。两条链不同，清单都是两个 $S_0$ 和一个 $S_1$。

相同清单不能重建原模 ​

比较 $U=k[t]/(t^2)$ 与 $W=k\oplus k$，令 $t$ 在 $W$ 上恒为零。两者都有两个 $S_0$ 组成因子，但乘 $t$ 在 $U$ 上的秩为1，在 $W$ 上的秩为0。模同构会共轭作用算子并保持秩，所以它们不同构。

这也区分了Krull–Schmidt 分解公理库Krull–Schmidt 分解定理Krull–Schmidt theorem由Fitting核像分解和局部端环证明不可分解直和块唯一，并明确匹配分量后的安全消去步骤。：$U$ 是一个不可分解的二维直和块，$W$ 却是两个一维块。Jordan–Hölder 记录相邻单商，Krull–Schmidt 记录真正的不可分解直和项。

组成因子不保留扩张中把上一层送到下一层的那部分操作。研究这些接合数据时，需要正合列的分裂性和 Ext公理库Ext 函子Ext functor · Ext groups以Hom导出量测量延拓障碍，并从提升、商群表示和Baer和完整证明Z/m被任意Abel群扩张的分类。，而不仅是因子计数。

唯一性的交叉比较证明 ​

对 ${\dim }_{k}M$ 作强归纳公理库强归纳法Strong induction · Complete induction归纳步可假设所有较小自然数情形成立。。比较两条组成列的最后一个真子模 $N,N^{\prime }$。若 $N=N^{\prime }$，则对这个维数更小的模应用归纳，再添上同一个顶因子 $M/N$ 即可。

若 $N\ne N^{\prime }$，由于它们都是极大真子模，$N+N^{\prime }=M$。令 $K=N\cap N^{\prime }$。自然映射给出

例如 $N\to M/N^{\prime }$ 满射来自 $N+N^{\prime }=M$，核正是 $K$，这就证明第一式。两侧商都单。

给 $K$ 选一条组成列。它后面添上 $N$，就是 $N$ 的一条组成列；由归纳，它的清单等于第一条原组成列在 $N$ 以内的清单。再添上 $M$，得到

通过 $N^{\prime }$ 走第二条路线也得到同一多重集。这里 $\uplus$ 记录重数。归纳既证明长度相同，也证明每个同构类型的重数相同，不需要基域代数闭或特征为零。

短正合列中的长度可加 ​

若有有限维模的短正合列公理库短正合列Short exact sequence · Short exact extension以单态射、满态射和中间正合性把子对象、扩张对象与商对象连接起来的三项正合列。

先取 $L$ 的组成列，再把 $N$ 的组成列逐层拉回 $M$，就得到 $M$ 的组成列。因此

更精细地，每个单模 $S$ 的组成重数满足 $[M:S]=[L:S]+[N:S]$。这个等式不要求正合列分裂。

长度与向量空间维数也不同。例如 $M_2(k)$ 的自然模 $k^2$ 是单模，其长度为1、维数为2。一般有

而不是无条件的 $\ell (M)={\dim }_{k}M$。

自检：对上面的三维 $M$，取 $L=kv+kw$。$L\cong S_0\oplus S_1$，商 $M/L\cong S_0$，所以长度为 $2+1=3$。这条正合列不分裂：若有单模补空间，其生成元可写为 $u+av+bw$，被 $t$ 作用后得到 $v+bw$，不能为零；而商上的 $t$ 作用正是零。长度加法并未抹去这个不分裂现象。