域上的结合代数 | Codeboy's Blog

形式陈述

一族线性操作既能相加，又能先后复合时，怎样把这两种运算放在同一个对象里？固定域 $k$ ，一个含幺结合 $k$ -代数是 $k$ -向量空间 $A$ ，配有乘法 $A\times A\to A$ ，满足

(ab)c=a(bc),\qquad 1_Aa=a1_A=a,

且乘法分别对两个变量 $k$ -线性。也就是说，它是双线性映射，但值域为 $A$ ，不必为 $k$ 。

等价地， $A$ 是含幺环，并指定保幺环同态 $k\to Z(A)$ ，其中 $Z(A)=\{a:ab=ba\text{ 对所有 }b\in A\}$ 。对应关系把 $\lambda\in k$ 送到 $\lambda1_A$ ；双线性保证

(\lambda1_A)a=\lambda a=a(\lambda1_A).

因此基域标量必须与每个代数元素交换，代数元素彼此却不必交换。本文允许零代数，但非零代数中的这条域同态必为单射。

代数同态 $f:A\to B$ 要同时是 $k$ -线性映射，保持乘法和单位。给 $k$ -空间 $V$ 指定代数同态

\rho:A\longrightarrow\operatorname{End}_k(V)

称为 $A$ 的表示； $\rho(1_A)=1_V$ 意味着“什么也不做”的操作确实作用为恒等。

直觉

向量空间只告诉我们如何叠加元素；代数还告诉我们如何让一个元素接着另一个元素运行。矩阵就是最熟悉的模型：相加叠加作用，乘法复合作用，数乘调整强度。

乘法不必能从向量空间结构中猜出来。同一组三个坐标既可逐坐标相乘，也可解释成上三角矩阵的三个自由位置。两者的加法完全相同，复合规律却不同。研究一个代数，必须保留这份乘法数据。

有限维时，取基 $a_1,\ldots,a_d$ ，写

a_ia_j=\sum_r c_{ij}^{r}a_r.

这些 $c_{ij}^{r}$ 是结构常数。结合律恰好要求对每个 $i,j,\ell,s$ ，

\sum_r c_{ij}^{r}c_{r\ell}^{s} =\sum_r c_{j\ell}^{r}c_{ir}^{s}.

检验基元三重乘积即可控制所有元素，因为任意乘积都能按双线性展开。

例子与边界

令

T=\left\{\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}:a,b,c\in k\right\}, \quad e=e_{11},\quad u=e_{12},\quad f=e_{22}.

矩阵单位满足 $e_{ij}e_{\ell m}=\delta_{j\ell}e_{im}$ ，所以九个基元乘积中只有

e^2=e,\qquad f^2=f,\qquad eu=u,\qquad uf=u

非零，其余五个都为零。单位为 $e+f$ 。于是

(ae+bu+cf)(a'e+b'u+c'f) =aa'e+(ab'+bc')u+cc'f.

特别地 $eu=u$ 、 $ue=0$ ，所以 $T$ 不交换。若改在 $k^3$ 上逐坐标相乘，所得代数交换；即使两个空间同为三维，代数也不同构。

要在 $V$ 上表示 $T$ ，只须选择三个算子 $E,U,F$ ，满足同一乘法表和 $E+F=I$ 。例如在 $V=k^3$ 上取

E=\operatorname{diag}(1,0,0),\quad F=\operatorname{diag}(0,1,1),\quad U=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}.

$U$ 把第二个坐标搬到第一个坐标，杀掉其余坐标。因此 $EU=U=UF$ ，而 $UE=FU=U^2=0$ ；加上 $E^2=E,F^2=F,EF=FE=0$ ，所有关系都成立。

若把 $U$ 换成 $E$ ，三个算子仍都是线性映射，却不再给出表示：乘法表要求 $u^2=0$ ，但 $E^2=E\ne0$ 。保持加法和数乘远不足以保持代数结构。

复共轭 $z\mapsto\bar z$ 保持 $\mathbb C$ 的环运算和单位，是一个实代数同态，却不是复代数同态，因为它把标量 $i$ 送为 $-i$ 。说“代数同构”时，必须说明在哪个基域上。

另一方面，将任意向量空间的乘法规定为恒零，确实得到结合双线性乘法。但只要空间非零，它就没有单位，因为 $1_Aa$ 永远为零。因此它不属于本文的含幺约定。

推论与应用

结合乘法还可定义新的交换子 $[a,b]=ab-ba$ ，由此得到Lie 代数。这不把两种运算混成一种：矩阵乘法结合，交换子一般不结合；迹零矩阵空间对交换子封闭，却未必对矩阵乘法封闭。Lie 结构只记录这项次序差异，并不保留原乘法的全部数据。

每个代数都有左正则表示 $a\mapsto L_a$ ，其中 $L_a(b)=ab$ 。结合律给 $L_aL_b=L_{ab}$ ；若 $L_a=0$ ，代入 $b=1_A$ 得 $a=0$ 。所以任意有限维代数都能忠实地实现为某个矩阵代数的子代数。这项实现保留乘法，却未必是维数最小的表示。

上三角例子还说明了一种有效的建模步骤：先列生成操作及其关系，再寻找满足关系的矩阵。箭图表示会把这一思路用于多个空间之间的操作；路径代数则将全部可复合路径组织成一个代数。

自检可以继续前面的三维表示：求 $U$ 的核与像，验证它们在 $E,F,U$ 下保持不变。答案为

\ker U=\operatorname{span}(v_1,v_3),\qquad \operatorname{im}U=kv_1.

核像在单个算子下不变并不自动意味着对任意代数作用不变；这里必须实际用三个生成元逐一核验。完成这一步，才把矩阵计算转成表示的子结构。

参考资料

P. Etingof et al., Introduction to Representation Theory，§§2.2–2.3：含幺结合代数及其表示。作者在线稿的分页与出版版不同，以节号定位。
Roman Bezrukavnikov，MIT 18.706，Noncommutative Algebra 课程资料，2023：环、模与非交换代数的课程背景。