分枝过程的归一化鞅

形式陈述

设 $(Z_n)$ 是从一个祖先出发的Galton–Watson 分枝过程，繁殖均值满足 $0<m=\mathbb E\xi<\infty$ 。令 $\mathcal F_n$ 包含前 $n$ 代已经使用的繁殖变量，定义

W_n=\frac{Z_n}{m^n},\qquad n\ge0. \tag{1}

则 $(W_n,\mathcal F_n)$ 是非负鞅， $\mathbb EW_n=1$ ，存在有限非负随机变量 $W$ ，使 $W_n\to W$ 几乎必然，且 $\mathbb EW\le1$ 。仅有这些条件时，不能把最后的不等号改成等号。

如果进一步满足

m>1,\qquad \sigma^2=\operatorname{Var}\xi<\infty, \tag{2}

则有均方收敛，即 $\mathbb E(W_n-W)^2\to0$ ，而且

\mathbb EW=1,\qquad \operatorname{Var}W=\frac{\sigma^2}{m(m-1)}, \qquad \mathbb E(W-W_n)^2=\frac{\sigma^2}{m(m-1)}m^{-n}. \tag{3}

记单祖先的最终灭绝概率为 $q$ 。在条件(2)下，

\{W=0\}=\{\text{最终灭绝}\}\quad\text{模零概率事件}, \qquad \Pr(W=0)=q. \tag{4}

所以在存活事件上， $Z_n/m^n$ 趋于一个严格正的随机值；不能无条件写成 $Z_n/m^n\to1$ 。

若初始有固定 $r$ 个祖先，归一化仍为 $Z_n/m^n$ ，极限是 $r$ 个独立 $W$ 之和。它的均值为 $r$ ，方差和式(3)的误差均乘 $r$ ，零极限的概率为 $q^r$ 。 $r=0$ 时这些量全部为零。

直觉

一代人数的条件平均变化是乘以 $m$ 。除去这个平均放大因子后，剩下的 $W_n$ 不再有向上或向下的条件漂移。它仍会随机变化：一条存活家系可能早期就分出许多支，也可能先经历几代低繁殖；这些早期差异会长期保留在随机极限 $W$ 中。

非负性足以让路径稳定下来，却未必让均值留在极限里。式(2)中的超临界有限方差使晚期新增噪声在归一化后形成可求和的平方预算，既阻止均值逃到罕见大值路径，也给出具体误差率。

另一件事需要单独证明： $W=0$ 是否只能来自灭绝？路径收敛本身无法回答。答案利用极限仍然继承家系分解，把零极限概率重新送回繁殖生成函数的不动点方程。

例子与边界

几何繁殖：随机极限并非常数

取繁殖分布

p_k=\frac25\left(\frac35\right)^k,\qquad k\ge0.

对几何级数求导得

f(s)=\frac2{5-3s},\qquad m=\frac32,\qquad \sigma^2=\frac{15}{4}.

方程 $f(s)=s$ 化为 $(3s-2)(s-1)=0$ ，故 $q=2/3$ 。式(3)给出

\operatorname{Var}W=5,\qquad \mathbb E(W-W_n)^2=5\left(\frac23\right)^n.

因此 $W$ 以 $2/3$ 的概率为零；余下概率上为正，其均值仍凑成一。它不可能等于常数一。若要求均方误差不超过 $10^{-2}$ ，需

5(2/3)^n\le10^{-2}.

$n=15$ 时约为 $0.0114183$ ， $n=16$ 时约为 $0.00761219$ ，故最小代数为16。这是平均平方误差保证，不是每条路径的确定误差限。

同一个极限还可使用二阶矩方法，得到

\Pr(W>0)\ge\frac{(\mathbb EW)^2}{\mathbb EW^2}=\frac16.

真实存活概率为 $1/3$ 。二阶矩界无需求不动点，但只读取两个矩，通常不会给出精确概率。

临界且方差有限，仍可能丢失全部均值

若 $p_0=p_2=1/2$ ，则 $m=1$ 、 $\sigma^2=1$ 。归一化并未改变人数， $W_n=Z_n$ ，每代均值为一。这个非退化临界家系几乎必然在某个有限代灭绝，因而 $W_n\to0$ 几乎必然；但 $\mathbb EW_n=1$ 不趋于 $\mathbb EW=0$ 。

这里 $\operatorname{Var}W_n=n$ ，平方预算并不有界。有限繁殖方差无法代替超临界条件；本页也没有声称有限二阶矩是保均值的必要条件。繁殖方差无穷时，式(3)不适用，需要另外的尾部条件和定理。

均方误差和单路径误差是不同合同

几何繁殖例子中，由 $\mathbf1_{\{|W-W_n|\ge\varepsilon\}}\le (W-W_n)^2/\varepsilon^2$ ，

\Pr(|W-W_n|\ge\varepsilon) \le \min\left\{1,\frac{5(2/3)^n}{\varepsilon^2}\right\}.

若只知道在某一条模拟路径上相邻 $W_n$ 很接近，不能据此断言它已接近极限。上述概率界还平均了尚未观察的未来繁殖；它并不是根据这条路径自动产生的条件置信界。

推论与应用

非负鞅与正交增量

给定历史，第 $n$ 代的 $Z_n$ 个繁殖数独立，故

\mathbb E[Z_{n+1}\mid\mathcal F_n]=mZ_n, \qquad \mathbb E[W_{n+1}\mid\mathcal F_n]=W_n.

归纳得到 $\mathbb EW_n=1$ ，再由非负鞅收敛定理得到几乎必然有限极限 $W$ 。Fatou引理给出 $\mathbb EW\le\liminf_n\mathbb EW_n=1$ 。

以下假设(2)。记 $D_{n+1}=W_{n+1}-W_n$ 。用独立繁殖的条件方差及全期望公式，

\begin{aligned} \mathbb E[D_{n+1}^2\mid\mathcal F_n] &=\frac{\sigma^2 Z_n}{m^{2n+2}},\\ \mathbb E D_{n+1}^2 &=\frac{\sigma^2}{m^{n+2}}. \end{aligned} \tag{5}

当 $i<j$ ， $D_i$ 对 $\mathcal F_{j-1}$ 可测，而 $\mathbb E[D_j\mid\mathcal F_{j-1}]=0$ ，所以 $\mathbb E D_iD_j=0$ 。这是平方可积增量的正交性，不是增量独立。

因此对整数 $k>n$ ，

\begin{aligned} \mathbb E(W_k-W_n)^2 &=\sum_{j=n}^{k-1}\frac{\sigma^2}{m^{j+2}}\\ &=\frac{\sigma^2}{m(m-1)}(m^{-n}-m^{-k}). \end{aligned} \tag{6}

$n=0,W_0=1$ 时还得到

\operatorname{Var}W_k =\frac{\sigma^2}{m(m-1)}(1-m^{-k}).

从平方预算到精确极限误差

固定 $n$ ，先对式(6)中的非负变量应用Fatou引理，让 $k\to\infty$ ：

\mathbb E(W-W_n)^2 \le \frac{\sigma^2}{m(m-1)}m^{-n}.

右侧趋零，直接证明均方收敛，也证明 $W$ 平方可积。Cauchy–Schwarz给出 $\mathbb E|W-W_n|\le\sqrt{\mathbb E(W-W_n)^2}\to0$ ，故 $\mathbb EW=1$ 。

现在已经知道均方收敛， $W_k-W_n$ 的平方均值确实趋于 $W-W_n$ 的平方均值；例如使用范数不等式

\big|\|W_k-W_n\|_2-\|W-W_n\|_2\big| \le\|W_k-W\|_2\longrightarrow0.

于是式(6)传极限得到式(3)的等号。这个次序很重要：先用Fatou取得足够的收敛，才能把有限阶段平方等式传到极限，不能预先交换极限与期望。

零极限概率为什么等于灭绝概率

按祖先第一代孩子划分家系。令 $W_n^{(i)}$ 是第 $i$ 个孩子开启的独立归一化过程，使用互不相交的未来繁殖数组；这些过程还与祖先的繁殖数 $\xi$ 独立。有限阶段有

W_{n+1}=\frac1m\sum_{i=1}^{\xi}W_n^{(i)}.

每个子过程都几乎必然收敛。可以先对可数多个潜在孩子取概率一事件的交，再使用 $\xi<\infty$ 几乎必然，让有限和传极限：

W=\frac1m\sum_{i=1}^{\xi}W^{(i)}. \tag{7}

这些极限非负、独立且同分布于 $W$ 。设 $a=\Pr(W=0)$ ，和为零当且仅当每一项为零，故 $a=\mathbb E a^\xi=f(a)$ 。

超临界且非退化的繁殖生成函数在 $[0,1]$ 的不动点只有 $q$ 和一，包括 $p_0=0$ 时的 $q=0$ 。由 $\mathbb EW=1$ ，不能有 $a=1$ ，所以 $a=q$ 。最终灭绝必然使 $W=0$ ，二者又有相同概率，得到式(4)。

上述判断在确定性繁殖 $\xi=k\ge2$ 时也正确： $\sigma^2=0$ 、 $W_n=W=1$ 、 $q=0$ 。这说明结论允许零方差；真正需要的是所列条件，而不是额外假定随机波动一定存在。

若改成同代所有个体共享一个繁殖开关，式(5)的条件方差将正比于 $Z_n^2$ ，而不是 $Z_n$ 。终点中的共同环境任务会精确算出仍是鞅但没有均方收敛的过程，由此定位独立性究竟用在何处。

参考资料

Hao Wu，MIT18.445, Lecture19，2015-04-27，幻灯片6–7，归一化非负鞅、有限二阶矩结论与零极限不动点。
Rick Durrett，Probability: Theory and Examples，第5版作者稿，2019，§4.2与§4.3.4（印页230–233）鞅收敛及其分枝过程应用；本页逐项给出有限平方预算与精确均方尾和。

形式陈述 ​

几何繁殖：随机极限并非常数 ​

临界且方差有限，仍可能丢失全部均值 ​

均方误差和单路径误差是不同合同 ​

非负鞅与正交增量 ​

从平方预算到精确极限误差 ​

零极限概率为什么等于灭绝概率 ​

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