Dobrushin 收缩条件

先比较全条件，再比较整条链 ​

从$x$到$y$，依次替换它们不同的坐标。严格正的完整乘积支持保证每个中间配置合法。用TV三角不等式和式(1)，

这一行是全方法的局部责任：不能用几个观察到的状态差异代替对所有条件输入的有效上界。

令$X_t$从所需初态启动，$Y_0\sim \pi$。两条链每轮选同一坐标。若选到$i$，对两份第$i$个全条件实际构造最大耦合理路耦合法Coupling method · Probability coupling在共同概率空间中构造具有指定边缘的随机变量，并用它们相遇的概率比较分布。，使新值不等的条件概率恰为其TV；未选中的坐标保留。每条边缘仍按合法Gibbs核演化，且$Y_t\sim \pi$。

记$d_i^{(t)}=\text{Pr}(X_{t,i}\ne Y_{t,i})$。式(6)与全期望给

由$d^{(0)}\le \mathbf{1}$及矩阵非负性归纳得到$d^{(T)}\le b^{(T)}$。两个子向量不相等时，至少有一个相应坐标不相等；并集界与耦合不等式证明式(3)。各坐标误配事件不必独立。

权重控制哪个方向 ​

定义加权向量范数$\Vert z{\Vert }_{\mathrm{\infty },v}=\underset{i}{max}|z_i|/v_i$。$B\ge 0$时，其诱导矩阵范数理路矩阵范数与诱导算子范数Matrix norm · Induced matrix norm · Operator norm of a matrix用诱导范数和常用可计算矩阵范数度量线性映射的放大能力，并区分算子范数、Frobenius 范数与谱半径。为

上界来自$|z_j|\le \Vert z{\Vert }_{\mathrm{\infty },v}{v}_j$，取$z=v$便取等。式(4)正好给$B(q)v\le \rho v$。又因$\mathbf{1}\le v/\underset{i}{min}{v}_i$，归纳得到$b^{(T)}\le {\rho }^{T}v/\underset{i}{min}{v}_i$，代入式(3)的全部坐标便得式(5)。

若存在$Cv\le \alpha v$且$\alpha <1$，固定扫描还可用稍粗的$\kappa =(1-\alpha )\underset{i}{min}{q}_i$。当$\rho =0$时，一步误配界为零；算步数不再使用$\log \rho$。若$0<\rho <1$，设$K=\sum _i{v}_i/\underset{i}{min}{v}_i$，足够步数为$\lceil \log \left(K/\epsilon \right)/(-\log \rho )\rceil$。

Ising局部场的精确影响 ​

对有限Ising模型理路有限 Ising 模型Finite Ising model · Ising model · 伊辛模型 · 有限自旋系统在有限图上给二值自旋的相邻相互作用和外场赋概率，推导局部条件更新，并由树与回路的边变量区分联合依赖。，第$i$个条件取正概率是$L(2a_i)$，其中$L(s)=1/(1+e^{-s})$。若只改变邻居$j$，把其他局部场写成$a$，差异为

等式由通分得到，上界用$\cosh \left(2a\right)\ge 1$。非邻居没有影响。因此$C_{ij}=\tanh |J_{ij}|$（有边时）是一份简单证书；已知外场和其余邻居取值时，还可以在有限集合上取最大值，得到更小的精确影响。

以三角形、零外场、$e^{2J}=3$为例，$\tanh J=1/2$。粗行和为1，未通过严格条件。然而固定另一个邻居后，$a=\pm J$，不会取到上界所需的$a=0$。条件概率只出现$1/10,1/2,9/10$，改变一个邻居的最大变化为$2/5$。于是

均匀扫描每次只更新一位，式(5)给$3(14/15{)}^T$。目标$\epsilon =1/100$时，这份界在第82步仍超标、第83步首次合格。这里改善的是条件影响的有效预算，不是改变了目标或采样器。

行和未过，加权仍可能通过 ​

四点星形，中心记0、三叶记1、2、3，零外场且每条边$\tanh J=2/5$。简单有效影响矩阵的中心行和为$6/5$，不能使用无权条件。取

中心比值$(Cv{)}_0/v_0=24/35$，每叶比值为$7/10$。因此$Cv\le (7/10)v$，均匀扫描得到$\rho =37/40$及$K=19/4$。权重表达各坐标误配容许的相对尺度，而不是把中心坐标从最终事件误差中删掉；$K$仍把它计入。

更新顺序、状态依赖与结构零 ​

系统扫描的第$i$次更新取$q=e_i$，式(2)只替换$b_i$这一行，并立即供后续坐标使用。不同次序对应不同矩阵乘积，通常不能交换。单轮不一定严格收缩，仍可以先计算完整一轮的乘积，再检查它对某个正向量是否缩小。

下图把四点星形的叶外场改为$e^{2h}=9$，保留中心零场与边参数$e^{2J}=7/3$。中心接收每叶的精确影响仍为$2/5$，叶接收中心的影响则为$30/187$。从$\mathbf{1}$开始，先中心的一轮给中心分量$6/5$，后中心的一轮给$36/187$；终点任务逐项求出条件律、矩阵预算和实际中心偏差。

若根据当前状态选坐标，目标不变性甚至可能失败。取两个独立公平比特：第一位为0时只更新第一位，为1时只更新第二位。以目标初始化后，第一位为1的概率变成$1/2+(1/2)(1/2)=3/4$。所有被抽的全条件都正确，但选择规则已经改变联合分布；本页的预定扫描证明不适用。

若目标只支持$00$和$11$，逐坐标替换的中间状态可能落在零质量处，条件比较也未必有唯一合法版本。不能把正乘积支持下的式(6)直接用于这种硬约束模型；需要重新选合法路径或块更新。

与加权路径耦合的精确关系 ​

在完整乘积空间用$d_w(x,y)=\sum _i{w}_i\mathbf{1}\{x_i\ne y_i\}$，其中$w_i>0$。对只在$j$不同的一对状态，共同选择坐标并最大耦合，有

选到$j$会删除原差异，因为该坐标的全条件不依赖自己的旧值；更新其他坐标则可能新添差异。若式(10)不超过$\rho w_j$对每个$j$都成立，实际使用路径耦合定理理路路径耦合Path coupling · Bubley–Dyer path coupling · 邻点路径耦合在有限连通辅助图上只检验相邻初态的一步平均距离，再由耦合粘合与最短路把收缩推广到全部分布。，便有TV界

式(10)对固定来源$j$向接收方$i$求和，使用加权列；式(7)固定接收方$i$汇总来源$j$，使用行。两种方法可以给不同的有效证书；非对称$C$上尤其不能把一个条件的下标转置后仍当作同一计算。

事件偏差与运行成本 ​

式(3)给第$T$步边缘分布的偏差，不给一条相关轨迹平均的方差或有效样本量。若函数$f$每改变坐标$i$最多变化$a_i\ge 0$，沿逐坐标路径可得$|f(x)-f(y)|\le \sum _i{a}_i\mathbf{1}\{x_i\ne y_i\}$，从而

对只依赖少数坐标的事件，不必先把全部坐标预算相加。这允许在采样前比较不同扫描对具体观测量的认证效果。

给定稀疏有效$C$后，一轮随机扫描向量递推可按非零元计算，成本为$O(n+\mathrm{nnz}(C))$；若$q=e_i$，只需更新第$i$行，成本为$O(1+\mathrm{nnz}(C_{i\cdot }))$。保存矩阵与向量为$O(n+\mathrm{nnz}(C))$。构造有效影响上界是额外任务：一般离散模型逐配置穷尽可能指数昂贵，不能把“矩阵已经给定”误当作总算法成本。