Kirchhoff波公式 | Codeboy's Blog

同一份局部扰动在一维留下位移平台，在二维留下逐渐衰减的尾迹，在三维却能于波前经过后完全消失。这不是传播速度不同：三者都可以有速度一。差别在于观察点从过去的球面，还是从整个球体接收贡献。

形式陈述

三维球面公式

固定c>0。在 $\mathbb R^3$ 上考虑波方程

u_{tt}-c^2\Delta u=0,\qquad u(0,x)=f(x),\quad u_t(0,x)=g(x). \tag{1}

取 $f\in C^3(\mathbb R^3)$ 、 $g\in C^2(\mathbb R^3)$ ，不要求全空间有界。对连续h定义归一化球面平均

M_rh(x)=\frac1{4\pi}\int_{S^2}h(x+r\omega)\,dS_\omega. \tag{2}

积分可写成θ∈[0,π]、φ∈[0,2π]上的迭代Riemann积分，权重为sinθ； $\omega=(\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta)$ 。因单位球面积为4π， $M_r1=1$ 。在任意有限时间窗口内，唯一C2解为

\boxed{u(t,x)=\partial_t\bigl[tM_{ct}f(x)\bigr]+tM_{ct}g(x).} \tag{3}

它也可写成

u(t,x)=\frac1{4\pi}\int_{S^2} [f(x+ct\omega)+ct\nabla f(x+ct\omega)\cdot\omega +t g(x+ct\omega)]\,dS_\omega. \tag{4}

初位移项包含法向导数。只知道f在某一个球面上的值，并不足以计算式(4)。

二维降维公式

对 $f\in C^3(\mathbb R^2)$ 、 $g\in C^2(\mathbb R^2)$ ，令

S_2(t)h(x)=\frac1{2\pi c} \int_{|y-x|<ct}\frac{h(y)}{\sqrt{c^2t^2-|y-x|^2}}\,dy =\frac t{2\pi}\int_{|z|<1} \frac{h(x+ctz)}{\sqrt{1-|z|^2}}\,dz. \tag{5}

边缘奇性可积，且单位圆盘权重的积分为2π。二维唯一经典解为

\boxed{u(t,x)=\partial_t[S_2(t)f(x)]+S_2(t)g(x).} \tag{6}

式(5)右端在固定圆盘积分，适合验证求导和t=0的初值；不能对左端的奇异边界机械套用普通端点求导。

直觉

半径为什么能替代一个空间变量

固定观察中心x。对任意C2函数h，球面平均的半径导数与散度定理给

\partial_rM_rh(x) =\frac1{4\pi r^2}\int_{B(x,r)}\Delta h(y)\,dy.

乘r²后再对半径求导，得

\partial_{rr}M_rh+\frac2r\partial_rM_rh =M_r\Delta h=\Delta_xM_rh. \tag{7}

这不是说h调和；这里只复用平均积分的求导机制。右侧一般不为零。

若u已经是波方程解， $A(r,t)=M_ru(t,\cdot)(x)$ 满足

A_{tt}=c^2(A_{rr}+2A_r/r).

令W=rA，恰有 $W_{tt}=c^2W_{rr}$ ，且W(0,t)=0。将W关于r奇延拓，利用一维d’Alembert公式，再令r趋零，得到

u(t,x)=\left.\partial_r[rM_rf(x)]\right|_{r=ct} +\frac1c\,ctM_{ct}g(x),

即式(3)。乘r这一步精确抵消了三维的2A_r/r；不能把同一操作直接用于二维。

还要反过来验证构造

从“假设存在解”导出式(3)，尚未证明存在。现直接取 $S_3(t)h=tM_{ct}h$ 。由式(7)，

\partial_{tt}S_3(t)h =2c\,\partial_rM_rh|_{r=ct} +c^2t\,\partial_{rr}M_rh|_{r=ct} =c^2\Delta_xS_3(t)h.

因此 $\partial_tS_3(t)f+S_3(t)g$ 满足方程。给定f的三阶和g的二阶连续导数，所有需要的导数都能在紧球面上逐项计算，所得u为C2。

又因 $M_0h=h$ 、球面上ω的平均为零， $S_3(0)h=0$ 、 $\partial_tS_3(0)h=h$ ，且 $\partial_{tt}S_3(0)f=0$ 。于是u(0)=f、u_t(0)=g。局部锥能量唯一性保证没有另一份经典解；即使f、g在远处增长，也可逐个有限锥使用它。

从球面落到圆盘的面积因子

把二维f、g延拓成与第三坐标无关的三维函数。式(3)产生的解也与第三坐标无关，因而满足二维波方程。半径r的球面上下两半可参数化为

y_3=\pm\sqrt{r^2-|y'-x|^2},\qquad dS=\frac r{\sqrt{r^2-|y'-x|^2}}\,dy'.

两半球贡献相同，因子二不能漏掉。将它代入 $tM_{ct}h$ ，得到式(5)的 $1/(2\pi c)$ 和平方根分母。赤道的投影Jacobian虽发散，极坐标积分 $\int_0^1r/\sqrt{1-r^2}\,dr=1$ 保证可积；固定圆盘表示又使经典求导合法。

例子与边界

同一速度脉冲，三个维数

令c=1、f=0，在每个维数取 $g(x)=(1-|x|^2)^3_+$ 。其中s_+=max(s,0)；g为C2并紧支撑于单位球。观察原点。

一维由速度积分得

u_1(t,0)=\int_0^{\min(t,1)}(1-r^2)^3dr =16/35\quad(t\ge1).

三维由式(3)得

u_3(t,0)=t(1-t^2)^3_+,

故t≥1完全为零。二维则为

u_2(t,0)=\int_0^{\min(t,1)} \frac{r(1-r^2)^3}{\sqrt{t^2-r^2}}\,dr. \tag{8}

对每个t>0它严格为正；对t>1，由 $\int_0^1r(1-r^2)^3dr=1/8$ 得

\frac1{8t}\le u_2(t,0)\le\frac1{8\sqrt{t^2-1}}, \qquad \lim_{t\to\infty}t u_2(t,0)=\frac18. \tag{9}

波前后的尾迹在三个维数确实不同，不是数值舍入制造的微小剩余。

三条曲线都由上面的解析公式绘制。t=1标出球面越过单位支撑的时刻；三维蓝线此后精确为零，二维灰线仍有正尾，一维黑色虚线则停在16/35。

非负初位移也可能变负

三维取g=0、 $f(x)=(1-|x|^2)^4_+$ ，f为C3。原点处

u(t,0)=\partial_t[t(1-t^2)^4] =(1-t^2)^3(1-9t^2),\qquad0\le t\le1.

例如t=1/2时值为−135/256，虽然初位移处处非负、初速度为零。导数项可以改变符号，不能把热核的正性保持或最大值结论套给波方程。

推论与应用

Huygens结论准确限制什么

在三维自由空间、常系数齐次波方程中，式(4)只使用f及其法向导数、g在半径ct球面上的数据。特别地，若两份初数据在该球面的某个开邻域相同，观察值就相同；远离球面的球内改动不会留下贡献。这是这里采用的三维Huygens性质。

若f、g都支撑在B(0,a)，当ct>|x|+a时球面及其一个邻域与支撑分离，因此u(t,x)=0。波前后存在一段精确安静区域。二维式(5)仍积到球内旧数据，所以一般没有这项结论。

“在球面上f相同”不能替代邻域相同或法向导数相同。例如c=t=1、x=0，f(y)=|y|²−1、g=0。f在单位球面为零，式(4)却给u(1,0)=2，因为法向导数为2。声明依赖数据时必须保留这个导数。

有源和有墙要重新检查支持集

连续注入外源时，即使每份三维自由波都只沿自己的球面传播，对不同注入时刻求和也会扫过过去锥内部；不能把齐次问题的单个球面直接当作受迫问题的全部依赖域。

有边界时还会反射，自由空间公式通常不满足墙上的条件。一维固定端可用奇延拓；一般区域需要与边界相配的构造。能量法仍可在合法边界条件下认证唯一性，但它不自动提供本页的显式核或三维清零时间。

参考资料

Julie Levandosky，Wave Equation in Higher Dimensions，Stanford Math220A，§7.1、印刷pp.1–7，Lemmas2–3及式(7.2)；§7.2、pp.7–8；§7.3、p.9：球面平均、Kirchhoff公式、二维降维及维数差别。本页补写反向构造核验，并将位移数据所需的法向导数显式列出。
Victor Ivrii，Partial Differential Equations，§9.1，小节“Spherical means”“2D-wave equation: method of descent”和“Remarks”：球面平均、二维公式与Huygens支持性质；不能将自由空间齐次结论无条件迁到有源或有墙问题。

形式陈述 ​

三维球面公式 ​

二维降维公式 ​

半径为什么能替代一个空间变量 ​

还要反过来验证构造 ​

从球面落到圆盘的面积因子 ​

同一速度脉冲，三个维数 ​

非负初位移也可能变负 ​

Huygens结论准确限制什么 ​

有源和有墙要重新检查支持集 ​

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