d’Alembert公式 | Codeboy's Blog

一根无限长的弦有两份初始信息：此刻弯成什么形状，以及每一点正在以多快的速度移动。只把初始形状向左右各搬一份，会漏掉第二份信息。d’Alembert公式把这两项分开，还能记录之后持续施加的外力。

形式陈述

初值和外源的完整公式

固定常数 $c>0$ ，考虑整实线上的波方程

u_{tt}-c^2u_{xx}=F(t,x),\qquad u(0,x)=f(x),\quad u_t(0,x)=g(x). \tag{1}

在任意固定窗口 $0\le t\le T$ 内，设 $f\in C^2(\mathbb R)$ 、 $g\in C^1(\mathbb R)$ ，F及空间偏导 $F_x$ 在 $[0,T]\times\mathbb R$ 连续。这里不要求全空间有界：每次计算只积分有限的空间区间和时间窗口。这组充分条件下，唯一C2经典解为

\boxed{ \begin{aligned} u(t,x)={}&\frac{f(x-ct)+f(x+ct)}2 +\frac1{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}g(y)\,dy\\ &+\frac1{2c}\int_0^t \int_{x-c(t-s)}^{x+c(t-s)}F(s,y)\,dy\,ds. \end{aligned}} \tag{2}

积分是连续函数在紧区间上的Riemann积分；最后一项是迭代积分。位移f只取两端的值，速度g却使用整个区间。时刻s的源项只取距x不超过 $c(t-s)$ 的位置，三项的作用区域不同。

直觉

两个方向为什么各占一半

先令F=0。作坐标变换 $\xi=x+ct$ 、 $\eta=x-ct$ 。由链式法则，

\partial_t^2-c^2\partial_x^2 =-4c^2\partial_\xi\partial_\eta.

所以解满足 $u_{\xi\eta}=0$ ，从而是 $A(\xi)+B(\eta)$ 。在半平面 $\xi\ge\eta$ 上，固定ξ时 $u_\xi$ 不随η改变；对ξ积分便得到这个表示，无须先把解延拓到负时间。

初值给

A+B=f,\qquad cA'-cB'=g.

于是 $A'=(f'+g/c)/2$ 、 $B'=(f'-g/c)/2$ 。积分并用 $A+B=f$ 消去两个常数，得到式(2)前两项。 $A(x+ct)$ 向左移动， $B(x-ct)$ 向右移动；符号与运动方向相反，是因为相同相位点必须保持自变量不变。

源项在第二次时间求导时出现

记式(2)最后一项为v。用微积分基本定理处理移动端点：

v_t(t,x)=\frac12\int_0^t \bigl[F(s,x+c(t-s))+F(s,x-c(t-s))\bigr]ds.

第一次求导没有上限项，因为在s=t时内层区间长度为零。再求导则有

\begin{aligned} v_{tt}&=F(t,x)+\frac c2\int_0^t [F_x(s,x+c(t-s))-F_x(s,x-c(t-s))]ds,\\ c^2v_{xx}&=\frac c2\int_0^t [F_x(s,x+c(t-s))-F_x(s,x-c(t-s))]ds. \end{aligned}

两者相减恰为F。相同的端点求导还给连续的混合导数；在任意紧时空块上，声明的连续性足以控制各项。并且v(0,x)=v_t(0,x)=0，前两项分别恢复f和g，存在性完成。

两个经典解之差有零初值和零源。刚才的双行波表示强制A、B互为相反常数，所以差恒为零。唯一性也因此不需要额外的无穷远增长限制。

例子与边界

紧速度脉冲留下一个平台

取c=2、f=0、F=0，初速度

g(x)=p(x):= \begin{cases}(1-x^2)^3,&|x|<1,\\0,&|x|\ge1. \end{cases}

它及前两阶导数在连接点连续，满足经典解条件。定义截断原函数

P(z)= \begin{cases} -16/35,&z\le-1,\\ z-z^3+3z^5/5-z^7/7,&-1<z<1,\\ 16/35,&z\ge1. \end{cases}

于是任意位置的答案为

u(t,x)=\frac{P(x+2t)-P(x-2t)}4. \tag{3}

在x=3，t≤1时还没有影响；1<t<2时波动由逐渐进入依赖区间的速度决定；t≥2时，整个脉冲已包含在积分内，因而

u(t,3)=8/35.

有限传播只保证太远处暂时不受影响，并不保证波前经过后位移回到零。此处平台内 $u_t=u_x=0$ ，所以平台本身没有局部波能量，位移却不为零。

无源不是“只看位移”的理由

若f=0、g=1，则u=t，虽然初始位移处处为零，随后位移仍增长。若连初速度也为零，但F(t,x)=t，则

u(t,x)=t^3/6.

代回方程和两份初值可立即核验。两个例子在每个紧块都满足经典条件，却不属于整实线有限总能量的解类；应用全局能量积分时必须另查可积性。

波动也不自动抹平初值的尖点。把f改成 $|x|$ 、g=0，公式给 $(|x-ct|+|x+ct|)/2$ ，尖点沿x=±ct移动。这不是本页C2定理下的经典解；它可按分布解释。保留公式作为较弱解，不等于已经获得经典二阶导数。

推论与应用

固定端反射从数据延拓开始

在x>0上取F=0，并加边界u(t,0)=0。若f、g在闭半线上分别为C2、C1，且

f(0)=f''(0)=g(0)=0, \tag{4}

它们的奇延拓 $f_o(x)=\operatorname{sgn}(x)f(|x|)$ 、 $g_o(x)=\operatorname{sgn}(x)g(|x|)$ 分别为C2、C1。式(4)是一组方便的经典兼容条件；f''(0)=0与方程在固定墙上u_tt=0相容。

将奇延拓代入整线公式，结果仍对x为奇函数，所以自动满足零边界。限制到x>0后，当ct>x时可整理为

u(t,x)=\frac{f(x+ct)-f(ct-x)}2 +\frac1{2c}\int_{ct-x}^{ct+x}g(y)\,dy. \tag{5}

负号说明位移波在固定端反向，积分下限也随反射改变。不能只给自由空间答案硬加一个墙标签。唯一性可由零Dirichlet边界的能量论证得到。

例如令g(x)=p(x−2)、f=0、c=2。脉冲远离墙，满足全部兼容条件。观察点x=4先在t=1/2之后受影响，反射贡献在t=5/2之后开始抵消，t≥7/2时两侧奇脉冲全部进入依赖区间，总积分为零，位移回到零。与式(3)的整线永久平台相比，这里改变的是边界和延拓，而不是传播速度。

图中左侧是初速度而非弦的初始形状；右侧是同一份单脉冲在x=4的位移。平台达到8/35，反射抵消后归零，不能把左右两幅的纵坐标当成同一个物理量。

从显式解转到可核验的传播范围

式(2)只读取过去三角形内的源及其底边初值。任意改动三角形外的数据，都不会改变顶点答案。高维没有同样的双行波分解，收缩球能量仍能证明同一速度界；三维球面与二维圆盘公式则进一步区分哪些内部点真的参与观察。

参考资料

Julie Levandosky，Wave Equation in R，Stanford Math220A，§§5.2–5.3、印刷pp.3–7；§5.5、Theorem4、式(5.13)；§5.6.1、pp.21–22：双行波、受迫公式与半线奇延拓。本页另显式核验经典充分条件、端点求导和紧多项式脉冲。
John K. Hunter，Notes on Partial Differential Equations，Chapter7，§7.1、印刷pp.211–212：常速波方程与热方程的传播、平滑和最大值性质区别。

形式陈述 ​

初值和外源的完整公式 ​

两个方向为什么各占一半 ​

源项在第二次时间求导时出现 ​

紧速度脉冲留下一个平台 ​

无源不是“只看位移”的理由 ​

固定端反射从数据延拓开始 ​

从显式解转到可核验的传播范围 ​

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