偏微分方程

PDE 描述一个场在空间中的分布；对含时间的方程，每一时刻的状态是一整个函数。最高阶导数构成的主部刻画传播与平滑机制，低阶项、区域形状以及初始和边界条件共同确定具体的演化或平衡问题。

调和函数理路调和函数与平均值性质Harmonic function · Mean value propertyLaplace 方程的无源解等于每个内含球或球面的平均；这一局部平均规律也能反过来识别调和性。满足 $\mathrm{\Delta }u=0$，以球平均刻画无源平衡；热方程 $u_t-\mathrm{\Delta }u=0$ 描述扩散，波方程 $u_{tt}-\mathrm{\Delta }u=0$ 描述波动。热方程在整空间、可积初值下的解是初值与Gaussian 热核理路热核Heat kernel · Gaussian heat kernel整空间单位热量的 Gaussian 演化核，通过卷积构造热方程解，并把时间相加转为核的卷积半群。的卷积，在正时间变得光滑；波方程具有有限传播速度。对在有界域闭包上连续的调和函数，椭圆最大值原理理路椭圆最大值原理Elliptic maximum principle · Maximum principle for harmonic functions有界区域内的次调和函数由边界上界控制；若在连通内部达到全局最大值，平均不等式迫使它恒定。把域内值限制在边界值的范围内。随时间演化的热方程则使用抛物最大值原理理路抛物最大值原理Parabolic maximum principle · Heat equation comparison principle热方程型不等式的上界由初始面和侧边界控制，终时面不是输入边界；严格时间扰动给出比较与唯一性。，输入边界由初始面和侧壁组成，终时面属于输出。

初始和边界数据把方程变成一个具体问题。例如在 $0<x<\pi$ 上，$u_t=u_{xx}$ 配零边界条件与初值 $u(x,0)=\sin x$，得到解 $u(x,t)=e^{-t}\sin x$。空间形状不变，振幅按指数衰减；改换初值，就改变了需要衰减的空间形状。

经典解具有方程所需的导数，并逐点满足等式。弱解把导数转移到检验函数上，以积分恒等式表达同一局部规律。非线性守恒律中的激波便适合后者：解可以出现跳跃，守恒关系仍通过积分形式成立。

一阶方程还有两个需要分开的接口。特征线法理路拟线性方程的特征线法Method of characteristics · Noncharacteristic Cauchy problem · 特征线法把一阶拟线性方程沿曲线变成扩展ODE，以非特征初始面和位置投影的局部可逆性构造唯一经典解，并区分切向数据与投影退化。用非特征初始面和位置投影的局部逆构造经典解；投影退化或函数出现尖点后，黏性解理路一阶方程的黏性解First-order viscosity solution · Viscosity subsolution and supersolution · 一阶黏性次解与超解用C¹函数从上和从下接触连续解，给一阶非线性PDE在尖点处的可核判据，证明经典相容与局部一致稳定性，并以正负帐篷区分几乎处处解。用光滑函数的上下接触不等式解释非线性梯度项。后者不是仅要求几乎处处成立，正负帐篷即使有相同的绝对斜率，也可能只有一个通过接触检查。

集中源项也需要明确的解语言。固定 $0<a<1$，Schwartz 分布理路Schwartz 分布Schwartz distribution · Generalized function · 广义函数以紧支撑光滑测试函数上的连续线性泛函容纳普通函数、跳跃导数和点源，并用显式 Green 核连接分布方程与零边界能量解。用 ${\delta }_a(\phi )=\phi (a)$ 表示点源：在 $(0,1)$ 上，$G_a(x)=min(x,a)-ax$ 满足零端点条件和 $-D^2{G}_a={\delta }_a$。它的一阶弱导数平方可积，斜率却在源点下降 $1$，所以二阶导数无法用普通可积函数表示；对应的能量恒等式 ${\int }_0^1{G}_a^{\prime }{v}^{\prime }dx=v(a)$ 对每个 $v\in H_0^1(0,1)$ 都成立。

PDE 依赖多元微分理路多元函数导数Derivative in several variables · Jacobian derivativeFréchet 导数在有限维 Euclidean 坐标中的 Jacobian、梯度与方向导数表示。描述局部变化，但弱解通常放在 Sobolev 空间，用弱导数理路弱导数Weak derivative通过分部积分恒等式相对于测试函数定义的广义导数。绕过经典光滑性。能量估计借助Hölder 不等式理路Hölder 不等式Hölder's inequality共轭指数下函数乘积的 L¹ 范数由各自的 Lᵖ 范数乘积控制。等积分工具，几何和边界条件则决定可用的紧性与谱结构。

数值层面，PDE 有限差分法理路偏微分方程有限差分法Finite-difference method for PDE · Finite-difference PDE discretization · Difference stencil由 Taylor 展开构造 PDE 差分模板，完整处理编号与边界，并用小系统、离散能量和制造解检验计算。在网格点离散微分算子；变分形式理路变分形式与弱问题Variational formulation · Weak formulation通过检验函数与分部积分把强微分方程改写为低正则性空间中的连续弱问题，并明确边界条件与适定性。先把强方程改写为积分恒等式，Galerkin 方法理路Galerkin 方法Galerkin method · Galerkin discretization在有限维试探与检验空间中离散连续变分问题，并用 Galerkin 正交、Céa 准最优性及稳定条件组织误差。再选择有限维试探与检验空间。定常问题由此转成有限个未知系数的代数方程；演化问题还需对时间作离散推进。

对常系数线性方程，Fourier 变换理路Fourier 变换Fourier transform · 傅里叶变换把非周期函数分解为连续频率成分，并将卷积和平移不变算子转为频域乘法。把空间导数化为频率乘子，Plancherel 定理理路Plancherel 定理Plancherel theoremFourier 变换从稠密子空间唯一延拓为 L² 上保持内积与范数的酉算子。再把频域估计无损搬回 $L^2$。连续介质、扩散、波动和几何流因此共享同一套函数空间语言。

这些工具还能逐步提升弱解的正则性：Fourier 乘子理路Fourier 乘子与平方可积估计Fourier multiplier · L2 Fourier multiplier把频域逐点乘法搬回函数空间，证明L2乘子范数恰为符号的本质上确界，并用一个有界逆乘子构造二阶弱解。先构造整空间的 $(1-\mathrm{\Delta }{)}^{-1}$；椭圆内部正则性理路椭圆内部正则性Interior elliptic regularity · 椭圆方程内部H2正则性对平方可积右端的Laplace弱方程，用能量截断和Fourier逆乘子证明内部二阶正则性，并以凹角奇性区分内部估计与全局边界估计。再通过截断与能量估计，证明 $-\mathrm{\Delta }u=f$ 在局部平方可积右端下具有内部 $H^2$ 正则性。凹角的零边界反例表明，内部结论不自动给出整个区域的二阶范数界。

流体与电磁场用 PDE 追踪空间中的守恒与传播，概率密度演化则把随机运动转写成确定性方程；这些模型选择的边界条件和守恒律与方程本身同样重要。