总变差距离

任选一个只输出“是/否”的事件测试 $A$，观察样本是否落在 $A$ 中。两分布对这个测试给出的“是”概率可能不同；总变差距离就是最佳测试能制造的最大差距。因此距离很小意味着对所有可测事件，两分布给出的概率都接近，而不是只在均值或少数统计量上相似。

离散情形中最优测试可以直接构造：取 $A_{+}=\{x:\mu (x)\ge \nu (x)\}$。总质量差为零，所以 $A_{+}$ 上的正差之和与补集上的负差绝对值之和相等。绝对差总和把这份差异计算了两遍，因而公式需要乘 $1/2$；这个因子不是任意的记号习惯。

离散公式还能看成搬运前的重叠质量：$\sum _{x}min(\mu (x),\nu (x))$ 是两边可以直接配对的共同部分，剩余部分就是必须不同的概率质量。这个图像自然连接耦合法公理库耦合法Coupling method · Probability coupling在共同概率空间中构造具有指定边缘的随机变量，并用它们相遇的概率比较分布。。

对 Bernoulli$(p)$ 与 Bernoulli$(q)$，两点空间上的差异为

最优事件可取 $\{1\}$ 或 $\{0\}$。若两个分布分别集中在互不相交的可测集上，则选取其中一个集合便得到距离 $1$；若距离为零，则它们在所有可测集上一致，因而是同一概率测度。

连续分布不必有密度，总变差仍由可测事件的上确界定义。总变差也比弱收敛强：点质量 ${\delta }_{1/n}$ 弱收敛到 ${\delta }_0$，但对每个 $n$，两者支撑不同且总变差距离为 $1$。另一方面，只比较期望并不能控制总变差；两个分布可能均值相同，形状却完全不同。

在有限、可数或标准 Borel 状态空间上，对任意耦合 $(X,Y)$，都有

因为当 $X=Y$ 时，两个事件指示函数 ${\mathbf{1}}_A(X)$ 与 ${\mathbf{1}}_A(Y)$ 相同，所以每个事件的概率差都不超过 $\text{Pr}(X\ne Y)$。取上确界便得不等式；在这些状态空间上还存在最大耦合达到等号。

离散空间的构造把共同质量 $r(x)=min\{\mu (x),\nu (x)\}$ 先配成 $X=Y=x$，总概率为 $c=\sum _{x}r(x)$；余下概率 $1-c$ 按各自剩余质量配对，剩余支撑互斥，所以一定不相等。于是失败配对的概率恰为 $1-c=\Vert \mu -\nu {\Vert }_{\mathrm{TV}}$。一般可测空间若不保证对角集可测，$\text{Pr}(X\ne Y)$ 本身就需要额外处理，不能不加空间条件地套用这个表达式。

混合时间公理库混合时间Mixing time · Markov chain mixing timeMarkov 链从最坏初态接近平稳分布到指定总变差精度所需的步数。用总变差衡量 Markov 链从最坏初态到平稳分布的距离；统计检验和信息论安全也用它描述无界计算观察者的区分能力。计算安全中的“优势”通常还受算法资源限制，不能与信息论总变差无条件等同。

两个不同点质量的总变差始终最大，即使它们在空间中无限接近。Wasserstein 距离公理库Wasserstein 距离Wasserstein distance用最小平均搬运距离定义概率测度的度量，并用矩条件说明它比弱收敛多控制什么。改用最小搬运距离衡量这种几何接近，但需相应矩条件，控制的信息也与事件概率最大差不同。