均匀分布 | Codeboy's Blog

形式陈述

均匀分布的含义取决于参考测度。若 $S=\{s_1,\dots,s_n\}$ 是非空有限集合，离散均匀分布 $\operatorname{Unif}(S)$ 定义为

\mathbb P(X=s_i)=\frac1n\qquad(i=1,\dots,n).

等价地，对任意 $A\subseteq S$ ， $\mathbb P(X\in A)=|A|/|S|$ 。

若 $B\subseteq\mathbb R^d$ 是 Lebesgue 可测集，且 $0<\lambda_d(B)<\infty$ ，则 $B$ 上的连续均匀分布是对 Lebesgue 测度归一化所得的概率分布：

\mathbb P(X\in A)=\frac{\lambda_d(A\cap B)}{\lambda_d(B)}

对每个 Borel 集 $A$ 成立。它相对于 Lebesgue 测度的密度为

f_X(x)=\frac{\mathbf 1_B(x)}{\lambda_d(B)}.

特别地， $X\sim\operatorname{Unif}[a,b]$ （ $a<b$ ）时，密度在 $[a,b]$ 上为 $1/(b-a)$ ，分布函数为

F_X(x)= \begin{cases} 0,&x<a,\\ \dfrac{x-a}{b-a},&a\le x\le b,\\ 1,&x>b. \end{cases}

“每个位置同样可能”必须理解为相对于已声明的测度，不能脱离样本空间与坐标来定义。离散情形用计数测度，Euclidean 区域通常用体积测度；换参考测度会得到不同的均匀概念。

直觉

均匀不是说连续分布中每个点获得相同的正概率——每个单点的概率都为零。真正平均的是等体积集合：在 $B$ 内取两个体积相同的可测区域，它们得到相同概率。离散情形的单点有正计数测度，所以才表现为每点概率 $1/n$ 。

把参考测度除以总测度，是从“大小”得到“概率”的核心操作。总大小必须有限且非零，否则无法归一化。这也解释了为什么有限区间有自然均匀分布，而整条实线没有平移不变的均匀概率分布。

例子与边界

若 $X\sim\operatorname{Unif}[-2,4]$ ，则

\mathbb P(1\le X\le3)=\frac{3-1}{4-(-2)}=\frac13,

并且

\mathbb E[X]=1, \qquad \operatorname{Var}(X)=\frac{(4-(-2))^2}{12}=3.

期望位于区间中点来自关于中点的对称性；方差则随区间长度的平方缩放。

在单位圆盘 $B=\{(x,y):x^2+y^2\le1\}$ 上均匀取点时，密度是 $1/\pi$ 。半径 $R=\sqrt{X^2+Y^2}$ 满足

\mathbb P(R\le r)=\frac{\pi r^2}{\pi}=r^2, \qquad 0\le r\le1.

因此 $R$ 并不服从 $[0,1]$ 上均匀分布，而有密度 $2r$ 。实际采样应取 $R=\sqrt U$ 、角度 $\Theta=2\pi V$ ，其中 $U,V$ 独立且均匀；直接令 $R=U$ 会让点过度集中在圆心。

有限集合例子中，公平六面骰的样本空间为 $S=\{1,\ldots,6\}$ ，事件“点数为偶数”含三个元素，概率为 $3/6$ 。若各面物理概率不同，即使标签仍为这六个数，分布也不再均匀。

无穷可数集合上不存在给每个点同一正概率的概率分布。若共同概率为 $c>0$ ，可数可加性给出总和 $\sum_{n=1}^{\infty}c=\infty$ ；若 $c=0$ ，总和又为零。因而“从所有整数中等概率选一个”在通常概率公理下没有这种分布。

整条实线也没有平移不变且对所有等长区间赋相同质量的概率测度。若单位区间质量为正，互不相交的整数平移使总质量发散；若为零，可数个单位区间覆盖实线却只有总质量零。可以在 $[-M,M]$ 上均匀并令 $M\to\infty$ ，但极限质量逃向无穷远，不产生实线上的均匀概率分布。

“坐标均匀”不具有非线性变换不变性。若 $X\sim\operatorname{Unif}[0,1]$ 且 $Y=X^2$ ，则

F_Y(y)=\sqrt y,\qquad f_Y(y)=\frac1{2\sqrt y},\quad 0<y<1,

所以 $Y$ 不均匀。声称参数“均匀先验”时，也必须写清在哪个参数化和参考测度下均匀。

推论与应用

一维逆变换给出标准采样公式：若 $U\sim\operatorname{Unif}[0,1]$ ，则 $a+(b-a)U\sim\operatorname{Unif}[a,b]$ 。更一般的随机变量可由分位数变换 $F^{-1}(U)$ 构造，这使单位均匀分布成为随机数生成的基础接口。

取 Borel 可测函数 $g:\mathbb R^d\to\mathbb R$ ，并要求 $\int_B|g(x)|\,dx<\infty$ 。Monte Carlo 积分把区域平均写成

\frac1{\lambda_d(B)}\int_B g(x)\,dx=\mathbb E[g(X)], \qquad X\sim\operatorname{Unif}(B).

低差异点列也以均匀测度为目标，但它用确定性点集的覆盖偏差衡量均匀性，不能与独立随机抽样的方差混为一谈。

参考资料

Patrick Billingsley, Probability and Measure, 3rd ed., Wiley, 1995，概率测度与分布章节。
Geoffrey Grimmett and David Stirzaker, Probability and Random Processes, 3rd ed., Oxford University Press, 2001，Ch. 2–3。
Luc Devroye, Non-Uniform Random Variate Generation, Springer, 1986，Ch. II。