ODE变分方程与参数敏感度

$A(t)$ 是沿轨道移动的Jacobian，不是始终冻结在初始点的矩阵。式(1)看一个初始方向如何被后续动力学拉伸、旋转；式(2)还让参数在每个时刻注入新的扰动，因此多出 $B(t)$。

先建立共同窗口，才能比较差商 ​

参考轨道在 $J$ 上的时空图像是紧集，且位于向量场定义域内部，因而有一条仍在定义域内的紧管状邻域。连续偏导在这条管内有界，给共同状态Lipschitz常数。沿参考轨道以局部存在唯一性理路Picard–Lindelöf 存在唯一性定理Picard-Lindelof theorem · Cauchy-Lipschitz theorem连续且对状态变量局部一致 Lipschitz 的向量场给出常微分方程初值问题的唯一局部解。覆盖有限多个小时间段，再用连续依赖将初值、参数邻域逐次缩小，就能使邻近解在整个 $J$ 内留在管中。不能先对尚未保证存在到终点的轨道求导。

不以形式求导代替导数存在 ​

先只改初值，令 $x_h(t)=\varphi (t;t_0,a+h,\lambda )$、${\mathrm{\Delta }}_h=x_h-x$。取从 $x(t)$ 到 $x_h(t)$ 的线段都在管内，则

Grönwall不等式理路Grönwall 不等式Gronwall inequality · Grönwall lemma将受自身积分控制的非负函数封闭为显式指数上界。先给 $\Vert {\mathrm{\Delta }}_h{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le C\Vert h\Vert$。连续偏导在紧管内一致连续，因此 $A_h\to A$ 一致。式(1)作为线性矩阵初值问题理路线性常微分方程组Linear system of ordinary differential equations形如 x′=A(t)x+b(t) 的向量值一阶线性方程组。先有唯一解；将上式与 $Y(t)h$ 相减，余量 $E_h={\mathrm{\Delta }}_h-Yh$ 满足

再用Grönwall，得到 $\Vert E_h{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=o(\Vert h\Vert )$。这个对任意向量 $h$ 的一致余项证明了Fréchet导数，强于只检查若干方向的差商。

参数方向同理：同时展开 $x$ 和 $\lambda$，会出现 $D_{x}f\mathrm{\Delta }x+D_{\lambda }f\mathrm{\Delta }\lambda$。将线性主项减掉后，其余项仍由紧集上的一致连续性控制，得到式(2)。线性方程对连续系数的连续依赖又给 $Y,Z$ 的连续性。向后时间把积分方向反过来，结论相同。

一个可以直接比较的非线性例子 ​

取 $x^{\prime }=\lambda x^2$、$x(0)=a$。在包含零且不跨极点的区间，

沿解有 $A(t)=2\lambda \varphi (t)$、$B(t)=\varphi (t{)}^2$，直接代回即可核对式(1)–(2)及两个不同初值。

令 $a=\lambda =1$。对固定 $T<1$，邻近初值可共同存在到 $T$；但 $Y(T)=(1-T{)}^{-2}$ 在 $T\uparrow 1$ 时无界。定理的紧窗口不能换成“所有初值各自存在到的全部时间”，更不能跨过爆破时刻。

定量余项需要比C1更多的信息 ​

若管内 $D_{x}f$ 对 $x$ 的Lipschitz常数为 $H$，且 $\Vert D_{x}f\Vert \le L$，则对 $0\le t-t_0\le T$ 有

因为一阶Taylor余项不超过 $H\Vert {\mathrm{\Delta }}_h{\Vert }^2/2$，再用传播界 $e^{L(t-s)}$ 积分即可；这个常数可以粗，但条件与区间都明确。只有C1时通常只保证 $o(\Vert h\Vert )$，不能无条件升级成二次余项。

对 $x^{\prime }=|x|$，零轨道唯一，正初值解为 $a{e}^t$、负初值解为 $a{e}^{-t}$。对固定 $t\ne 0$，在 $a=0$ 处两侧初值导数不同，因此解映射并不可微。在 $t=0$ 时解映射仍为恒等，导数为1。状态Lipschitz保证唯一，不自动保证其他时刻的可微流。

由链式法则理路链式法则Chain rule复合映射的导数等于各层导数按计算顺序组成的线性映射复合。，自治流满足

这也可把流恒等式 $\varphi (t,\varphi (s,a))=\varphi (t+s,a)$ 对 $s$ 在零处求导得到。若 $a$ 位于非平凡周期轨道且周期为 $T$，则 $Y(T)f(a)=f(a)$，所以单周期变分矩阵总有一个相位方向的乘子1。

Poincaré回归映射理路Poincaré回归映射与返回时间导数Poincaré return map · Poincare return map · 庞加莱回归映射以横截条件构造周期轨道附近的局部返回时间，推导返回映射的投影导数，并证明横向乘子与单周期变分矩阵的关系。还要对“返回时间也随初值变化”求导，不能直接把 $Y(T)$ 当作横截面导数。周期轨道的参数延续理路周期轨道的参数延续与周期敏感度Continuation of periodic orbits · Period sensitivity · 周期轨道的相位约束固定横截相位后，用非相位乘子不等于1证明局部参数延续；由带边框变分系统同时计算基点与周期导数，并解释退化和近退化边界。则将式(2)与相位约束结合，求一族轨道真正的周期变化率。

数值上可以将 $x,Y,Z$ 一起积分，分别有 $n,n^2,nm$ 个标量未知量。这个维数计数不是误差保证；若用于认证乘子或参数导数，还须控制轨道、Jacobian求值和变分积分误差。用相近两次轨道相减估导数时，截断误差与舍入抵消也必须另计。