变分积分器

每段离散轨道贡献一个作用量。内部节点的微小移动同时改变左段和右段；驻点要求两侧端点动量刚好接上。动力学更新因此来自一项全局变分原则的局部一致性。

对单段有 $d{L}_d=-p_{k}d{q}_k+p_{k+1}d{q}_{k+1}$。再取一次外微分公理库外微分Exterior derivative把 k 形式映为 k+1 形式且满足 d²=0 与分次 Leibniz 规则的算子。，$d^2{L}_d=0$ 给出端点辛二形式一致，从而解释正则离散 Legendre 变换下的局部保辛映射公理库辛映射Symplectic map以 Jacobian 的 J 恒等式定义辛映射，证明 Hamilton 流保持它，并区分辛结构、体积与能量。。这里需要非退化条件把关系真正变成局部映射。

最简单的机械离散作用量 ​

取 $L(q,\dot{q})={\dot{q}}^2/2-V(q)$，用

离散 Euler–Lagrange 方程给出

定义上述离散动量后，有 $p_k=(Q-q)/h+h{V}^{\prime }(q)$、$p_{k+1}=(Q-q)/h$，即

这正是先动量后位置的辛 Euler公理库辛 Euler 方法Symplectic Euler method以更新后的动量推动位置，构造一阶辛方法，并在谐振子上精确计算稳定区和离散不变量。。二阶位置差分的外观并不意味着这套端点相空间变量自动获得二阶一步精度；离散 Lagrangian 的求积选择及动量定义共同决定方法阶数。

若 $V$ 对平移不变，$L_d(q+a,Q+a)=L_d(q,Q)$。对 $a$ 求导得 $D_1{L}_d+D_2{L}_d=0$，所以 $p_{k+1}=p_k$，给出离散平移动量守恒。更一般对称性也产生相应离散动量守恒律。

构造流程是选择作用量近似、求两端导数、检查混合导数可逆性、解离散动量方程、核验边界匹配与对称性。若离散作用量保留某种空间对称性，就有机会保留对应动量；粗糙求积或不对称处理可能破坏它。

固定步长的变分积分器通常不精确保留原 Hamiltonian，时间离散打破了连续时间平移的直接结构。保辛、保动量和保能量应分别陈述。退化 Lagrangian、约束和外力也需要相应扩展，不能直接套用正则无力公式。