简单多边形

“简单”只表示边界不穿过自己，不表示多边形凸、边数少或外观规整。凹陷可以任意深，只要沿边界走一圈时每个非相邻边段互不相遇，仍能清楚区分内部与外部。这个拓扑保证是点内判定、三角剖分和多边形布尔运算能够建立不变量的起点。

顶点列表不仅是一组点，还规定相邻关系和方向。同样的点集按不同顺序连接，可能得到简单多边形，也可能得到自交折线；因此凸包或点集排序不能替代边界输入。

轴对齐的 L 形边界是凹简单多边形：其某些内角大于 $\pi$，但边没有自交，内部仍是一个连通有界区域。四个点按矩形周界顺序连接也给出简单多边形；若改按对角交替连接，就形成“蝴蝶结”，两条非相邻边在内部相交，不再满足定义。

连续重复顶点会产生零长度边，非相邻边只在端点“轻触”会让边界不再是 Jordan 曲线，共线边重叠则使同一边界片段被走多次。这些退化输入不能靠“肉眼仍像一个区域”忽略；几何算法应拒绝它们，或先明确一种更宽的弱简单多边形模型。

一个外框加一条内框可以描述带孔多边形区域，却不是单个简单多边形的内部，因为边界有两个连通分支。类似地，自交多边形可用奇偶规则或绕数定义填充区域，但那是另一种对象，不能直接套用简单多边形的三角剖分结论。

简单边界使点可稳定分类为 interior、exterior 或 boundary，也保证存在不引入新顶点的三角剖分。耳切公理库简单多边形的耳切三角剖分Ear clipping triangulation用合法耳三角形逐次缩小简单多边形，并以对角线可见性、覆盖和三角形计数核验输出。通过合法耳逐次缩小边界；单调划分公理库扫描线划分单调多边形Monotone polygon partition · MakeMonotone向下扫描顶点，用活动左边界的 helper 消除 split/merge 顶点，构造互不相交的单调分块。再接线性栈剖分公理库单调多边形的线性栈剖分Linear-time monotone polygon triangulation合并两条单调边界链后，用未处理边界的凹链栈在线性时间输出合法对角线。，则利用两条有序边界链减少工作。若两个输入还都凸，逐半平面裁剪公理库凸多边形的逐半平面裁剪Sutherland–Hodgman clipping for convex polygons · Convex polygon clipping逐条窗口边扫描顶点流，以进入、离开、留在内部三种输出动作构造两个凸多边形的交。可以直接构造它们的交。孔洞、自交与退化输入改变这些算法的合约，需要同步处理。

有向面积还提供全局方向检查，但面积非零本身不能证明简单性：蝴蝶结各部分的有向贡献可能抵消或留下非零值。验证输入仍需检查非相邻边相交，而不是用一个数值替代拓扑条件。