振幅放大

经典重试把成功概率从 $a$ 提升到常数需要约 $1/a$ 次独立运行；振幅放大不测量每次尝试，而让失败与成功分量保持相干，在二维平面中每轮推进约 $2\sqrt{a}$ 的角度，故只需约 $1/\sqrt{a}$ 轮。

构造 $Q$ 需要三项操作配合：可逆的状态制备 $A$，对 good 子空间的相干反射，以及对零态的反射。这样，算法才能反复改变成功与失败分量的相对振幅，同时保留干涉所需的相位关系。

设原过程成功率 $a=1/16$，于是 $\sin \theta =1/4$。做两轮后 good 振幅为

成功率从 $1/16$ 提升到

若 $A$ 用一次查询且 good 反射不读输入，这条轨迹总计 $(2\cdot 2+1)\cdot 1=5$ 次查询；把两轮只记成两次会漏掉 $A^{†}$ 与重新制备。

当 $a$ 未知时，固定 $r$ 可能越过成功方向。例如 $a=1/4$ 时 $\theta =\pi /6$，一轮后的成功率为 $1$，两轮却降回 $1/4$；迭代次数增加不意味着成功率单调增加。逐渐扩大上界并在区间中随机选迭代次数，可在 $a>0$ 时取得期望 $O(1/\sqrt{a})$ 次制备及逆调用；这种发现成功即停止的策略还要求能测量并识别成功，例如有可读的成功标志或可验证候选。[1, Theorem 3] 仅能调用相位反射，却没有识别成功的测量或验证方式，不足以实现这个停止规则。它不是一个对所有 $a$ 同时最优的固定角度。

若 $a=0$，初态在 good 子空间没有分量，上述特定迭代 $Q$ 不会产生该分量。要保证无解时终止，仍需另有可验证停止界；期望调用界也不能直接充当有界误差模型的每分支硬上限。

噪声或不可逆子程序也是失效边界。把含测量、丢弃或随机环境的过程直接称为 $A$，一般没有可调用的 $A^{†}$；必须先给出 coherent dilation，并把清理 workspace 的代价计入。

酉算子的线性组合公理库酉算子的线性组合实现Linear combination of unitaries · LCU method用PREP、SELECT和逆制备把矩阵线性组合实现为辅助零分支，显式计算I加2Z的成功和失败输出，并把选择访问、相位和后选择成本纳入契约。给出具体的相干后选子程序，但其成功率一般依赖输入。若成功块恰为同一个酉算子的已知标量倍数，无视输入的振幅放大公理库无关输入态的振幅放大Oblivious amplitude amplification只反射辅助零子空间就放大未知数据上的统一酉作用，证明成功振幅二分之一时的一步精确恒等式，并用非酉反例展示奇异值失真。可只反射辅助子空间，无需反射未知数据态；一般非酉成功块则会按 $B\mapsto 3B-4B{B}^{†}B$ 改变奇异值，不能只把它理解为统一提高成功率。

振幅放大把“能以小概率产生见证”的 coherent 算法转为平方根级查询上界，也为量子计数公理库量子计数算法Quantum counting algorithm · Quantum approximate counting对 Grover iterate 做相位估计，将特征相位转换为标记比例并显式控制计数误差。提供 Grover iterate 的特征相位。后者不把振幅推到一，而是估计旋转角以恢复原成功概率。

已知与未知 $a$ 的口径决定算法类型：已知值可选确定迭代数和精确调相；未知值需随机 schedule、phase estimation 或 fixed-point 版本，并支付不同常数与误差依赖。各版本的查询界应与成功概率的已知信息及所需误差一起报告。