网络切集信息上界

即便让切面同侧的所有节点完全合作，源消息仍必须穿过切面才能到终点。将一侧合并成超级发送者、另一侧合并成超级接收者，只会让任务更容易，所以容易任务的容量也限制原网络。

同一份输入分布要接受所有切面的检查。先对每个切面单独最大化再取最小，仍可能是上界，却通常更松；它允许不同切面各自使用不相容的最优分布。

从一段码到单字母上界 ​

任取长度 $n$ 的通信码公理库信道码Channel code把消息映为信道输入码字并从带噪输出恢复消息的编码—译码对。，Fano 不等式公理库Fano 不等式Fano's inequality用估计错误概率上界条件熵，从而把信息不足转化为推断下界。把可靠译码变成 $nR\le I(M;\text{终点记录})+o(n)$。向切面外的节点公开它们的本地信息，并按时间展开互信息链式法则，可上界为

无记忆性消去更早信号的额外影响，因果编码保证当前输入只依赖允许的历史。令 $p_i$ 为第 $i$ 次使用的联合输入律，取同一平均律 $\overline{p}=n^{-1}\sum _i{p}_i$。对固定转移律，每个切面的 $F_S(p)=I_p(X_S;Y_{S^c}\mid X_{S^c})$ 都对联合输入律凹：其条件输出熵是凹函数，而给定全部输入后的输出熵是线性函数。因此Jensen 不等式公理库Jensen 不等式Jensen's inequality凸函数作用于平均值不超过函数值的相同加权平均。给出 $n^{-1}\sum _i{F}_S(p_i)\le F_S(\overline{p})$。同一个 $\overline{p}$ 同时满足所有切面所需的放宽界，再对联合输入律最大化即得结论。证明只建立必要条件，没有构造达到它的码。

三节点中继有两条关键切面 ​

源输入 $X_1$，中继输入 $X_2$、观察 $Y_2$，终点观察 $Y_3$。切 $S=\{1\}$ 给

切 $S=\{1,2\}$ 给 $R\le I(X_1,X_2;Y_3)$。前者允许中继和终点把观察汇总，后者允许源和中继像一个发送者那样合作；真实中继未必能同时实现两种理想合作。

无噪串联链的匹配例子 ​

源到中继每次最多传 $2$ bit，中继到终点最多传 $1$ bit，且为相互独立的无噪链路。两切面分别为 $2$ 与 $1$，所以 $R\le 1$。中继逐块存储并转发，每次流水线传 $1$ bit，启动延迟占比趋零，因此达到上界，容量确为 $1$。

换成一般有噪无线中继后，切集值未必可达。特别是同一个接收输出同时混合多个发送输入时，不能把每条画出的箭头独立当作一条给定容量的管道。

在独立无噪边网络中，该信息界退化成最大流最小割公理库最大流最小割定理Max-flow min-cut theorem以净跨割恒等式和残量可达集证明最大流等于最小割，并给出独立可检查的最优性证书。中的跨边容量和；而译码转发公理库译码转发中继Decode-forward relaying让中继先译出源消息再协同发送，以两段译码瓶颈给出一般中继信道的可达率。与压缩转发公理库压缩转发中继Compress-forward relaying让中继压缩自己的观察供终点联合解释，用描述质量与描述链路容量共同约束可达率。提供具体可达内界。只有内外界在相同模型与参数下吻合，才可宣称求得容量。