窃听信道与保密容量

编码器为每条真正消息准备许多随机码字。合法端需要从全部码字中认出所发码字，所以总码率受其信道约束；窃听者看到的同一消息下许多随机码字被混合，足够多的随机化可把不同消息的输出分布抹得接近。

在选定输入分布下，直观上将约 $I(X;Z)$ 的码率用于掩盖随机索引，剩余约 $I(X;Y)-I(X;Z)$ 才承载秘密消息。严格的强保密证明使用信道可解析性，使不同消息对应的窃听输出分布接近同一个目标分布；单凭窃听者译码失败并不够。

必要性的起点是同时使用可靠性与保密性：Fano 不等式公理库Fano 不等式Fano's inequality用估计错误概率上界条件熵，从而把信息不足转化为推断下界。使合法观察几乎确定消息，强保密使窃听观察关于消息的互信息趋零，因此 $nR\le I(M;Y^n)-I(M;Z^n)+o(n)$。互信息链式法则与 Csiszár 求和恒等式将差值按时刻拆分，用包含消息、过去合法观察与未来窃听观察的辅助变量单字母化，再以最大的 $I(V;Y)-I(V;Z)$ 控制每项。这一逆向论证与随机化编码的可达性共同给出容量等号。

退化的二元对称信道 ​

合法端为 $Y=X\oplus N_1$，$N_1\sim \mathrm{Bern}(0.1)$。窃听端再经过独立噪声 $Z=Y\oplus N_2$，取 $N_2\sim \mathrm{Bern}(0.25)$，则 $X\to Z$ 的总翻转率为

均匀输入在此对称退化模型下最优，所以

合法信道容量约 $0.5310$，其中约 $1-h_2(0.3)=0.1187$ 的随机化率遮掩窃听观察，剩余才是保密率。有限块长还要给可靠性与保密余量，不能把渐近极限直接当成一个短码的无误速率。

保密条件保护了什么 ​

强保密要求整个消息泄漏趋零；较弱条件 $I(M;Z^n)/n\to 0$ 只要求每符号泄漏趋零，仍可能允许总泄漏增长。两者在本信道模型下可有相同容量，但编码证明所达保证应明确说明。

即便强保密也不自动隐藏发送时刻、消息长度或模型外侧信道。它与完美保密公理库完美保密Perfect secrecy对每种消息先验，观察密文都不改变消息分布的无条件安全定义。不同：后者要求指定有限实验中严格独立，这里通常是块长增长后的渐近独立。

如果窃听者比合法端拥有更强的退化顺序，即 $X\to Z\to Y$，数据处理不等式公理库数据处理不等式Data processing inequality对 Markov 链 X→Y→Z，有 I(X;Z)≤I(X;Y)。给所有 $V$ 的 $I(V;Y)\le I(V;Z)$，所以没有预共享密钥时保密容量为零。这个反例说明随机化不能凭空制造一个更有利的合法观察。