Wyner–Ziv 带边信息有损编码

编码器先选一份足以粗略描述 $X$ 的 $U$ 码字，再只发送它的箱号。译码器用自己已有的 $Y$，从箱内挑出相容的 $U$，最后联合二者重建 $X$。

覆盖源序列大约需要 $I(X;U)$ 的码率，边信息能省掉约 $I(U;Y)$；两者之差就是实际发送率。编码器虽然不知道当前 $Y$，却知道统计相关性，因而可以预先设计这些箱。

带擦除边信息的二元例子 ​

设 $X$ 为均匀 bit。先取 $0<e\le 1$。以概率 $1-e$，译码器的 $Y$ 恰为 $X$；以概率 $e$，$Y$ 为擦除符号，擦除事件独立于 $X$。采用 Hamming 失真。令辅助变量 $U=X\oplus Z$，其中 $Z\sim \mathrm{Bern}(d)$ 独立，$0\le d\le 1/2$。

译码器见到未擦除的 $Y$ 就直接输出它，只有擦除时使用 $U$。因此失真为 $D=ed$，而

所以 $R_{WZ}(D)\le e[1-h_2(D/e)]$，$0\le D\le e/2$。若连编码器也知道擦除位置，只需压缩擦除的那一部分 bit，条件率失真下界恰为同一表达式，故这里取等号。

例如 $e=1/2,D=0.05$，有 $d=0.1$，码率为 $0.5[1-h_2(0.1)]\approx 0.2655$。$D=0$ 时需 $e$ bit，等于擦除位置留下的条件熵；$D\ge e/2$ 时零通信、擦除处随意猜即可达到目标。若 $e=0$，译码器已经逐符号知道 $X$，对所有 $D\ge 0$ 都有 $R_{WZ}(D)=0$，不使用含 $D/e$ 的表达式。

本例没有率损失，不代表一般都没有 ​

如果编码器也知道 $Y$，它可按每种边信息分别设计描述，通常拥有更大选择空间，因此条件率失真函数不大于 $R_{WZ}(D)$。上述擦除例子恰好达到等号；一般离散源可能存在严格的率损失，不能把 $R_{WZ}(D)$ 直接改写成任意 $p(\hat{x}|x,y)$ 上的条件互信息最小值。

编码器能够生成的是 $p(u|x)$，不是依赖未知 $y$ 的 $p(u|x,y)$。Markov 条件正是把这个操作限制写进数学式。

若任务改为准确计算给定 $f(X,Y)$，而不是在失真约束下重构 $X$，函数特征图公理库函数计算的特征图Characteristic graph for function computation只连接在共同边信息下产生不同函数值的源输入，给出一次着色码和完整概率例子，再明确区分严格零错与条件图熵的趋零块错误率。只连接共享合法 $y$ 且函数值不同的输入。其条件图熵同样保留 $W-X-Y$ 的编码权限；对应的Orlitsky–Roche率允许块错误趋零，并不自动等于有限块长严格零错误率。

中继若无法译出完整消息，仍可压缩自己的观察，让终点借助已有接收信号解释压缩描述；这正是压缩转发公理库压缩转发中继Compress-forward relaying让中继压缩自己的观察供终点联合解释，用描述质量与描述链路容量共同约束可达率。中使用带边信息编码的原因。实际协议需同时检查描述质量与发送描述所需的信道容量。