伪维

每个样本点都带一根可独立设定高度的横杆 $r_i$，函数图像要能按任意二进制模式越过或低于这些横杆。阈值随点变化，使伪维捕捉实值函数在不同位置的相对高度，而不是只问同一个水平切片能形成多少分类。

子图转换把 $(x_i,r_i)$ 当作扩充空间中的二分类点：函数值是否越过阈值，等价于该点是否落入函数子图。于是 VC 维的组合工具可以复用，但输出范围与损失尾部仍属于回归问题的额外条件。

线性函数例子 ​

对无截距线性类 $f_w(x)=⟨w,x⟩$，$w,x\in {\mathbb{R}}^d$，伪维为 $d$；在全域 ${\mathbb{R}}^d$ 上加入自由截距后，伪维恰为 $d+1$。下界可选择 $d$ 个线性无关公理库线性无关Linear independence只有全零系数能产生零向量的向量组。的输入、阈值全取零，再解线性方程实现每种符号。

上界不能只引用扩充空间中所有仿射半空间的维数，那会丢掉本类的约束。对任意 $d+1$ 个输入，取不全为零的系数 $c_i$ 使 $\sum _i{c}_i{x}_i=0$。于是所有 $w$ 都有 $\sum _i{c}_i{f}_w(x_i)=0$。按 $c_i$ 的正负选择两种相反的阈值标注，分别要求这个零值至少为 $\sum _i{c}_i{r}_i$、至多为该值，且至少一侧严格，因而不可能两种都实现。

加入截距后，对增广输入 $(x,1)$ 使用同一论证，得到上界 $d+1$。下界取输入 $0,e_1,\dots ,e_d$，阈值仍全为零：对任意指定的 $y_0,\dots ,y_d\in \{-1,1\}$，令截距为 $y_0$、$w_i=y_i-y_0$，便有 $f(0)=y_0$、$f(e_i)=y_i$，实现全部标注。这里的结论依赖函数族的具体表示能力，而不是“有 $d$ 个参数所以必然等于 $d$”。

与相邻维度的区别 ​

若只允许一个统一阈值 $r$，得到的是不同的阈值维度，不能替代逐点 $r_i$。伪维适合回归和实值损失类；fat-shattering dimension 还引入正 margin，更能刻画尺度敏感的实值复杂度。对二元 $\{0,1\}$ 值类，取阈值 $1/2$ 后伪维退化为 VC 维。

边界 ​

有限伪维只约束组合丰富度。要从它推出平方损失或绝对损失的风险界，通常还需输出有界、尾部条件或截断；无界函数可让少量极端值主导风险。不同参数可能表示同一函数，神经网络等类的伪维也未必等于裸参数数目。

ReLU 网络函数类公理库ReLU 网络函数类ReLU network function class · 一维 ReLU 折点表示从固定架构的函数集合出发，用斜率跳跃证明一维连续分段仿射函数的精确 ReLU 表示，并核对宽度、参数与泛化条件。把这些区别落实到固定架构：先分别核对标准网络与带线性直连网络的参数数，再引用依赖参数数与深度的容量上界，最后在预测截断和标签有界的条件下调用平方风险泛化界。这样，表达一个函数所需的表示、整个类的组合容量和损失的统计控制各有明确位置。

伪维是回归函数类的一项组合复杂度，而不是损失函数或估计器本身。

将伪维用于泛化时，还要把函数输出范围传到损失类。绝对损失需要 Lipschitz 与包络控制，平方损失的 Lipschitz 常数则依赖预测和标签界；若响应重尾，应先引入截断或稳健估计，不能只引用有限伪维。